Tənliyə nəzərən həll edilmiş birtərtibli tənlik üçün həllin varlığı və yeganəliyi

Kompleks təkrari hal
Əgər kompleks ədədi (3) tənliyinin m dəfə təkrarlanan köküdürsə, onda aydındır ki, qamma kompleks ədədi də (3) tənliyinin m dəfə təkrarlanan həlli olacaqdır. Onda bu həllərə uyğun olan xətti asıllı olmayan həqiqi funksiyalar


funksiyaları olar.

Sabit əmsallı qeyri-bircins xətti tənliklər.

tənliyinə baxaq. Məlumdur ki, qeyri-birinci xətti tənliyin ümumi həlli uyğun bircins tənliyin ümumi həlli ilə qeyri-bircins tənliyin hər hansı fərdi həllinin cəminə bərabərdir. Deməli (1) tənliyini həll etmək üçün f(x) funksiyasının quruluşundan asılı olaraq (1) tənliyinin fərdi həllini qurmaq lazımdır. Fərdi həlli müəyyənləşdirmək üçün ümumi üsullardan biri sabiti variasiya üsuludur. Praktiki olaraq ən geniş yayılmış üsullardan biri də qeyri-müəyyən əmsallar üsuludur.

1. 
   
   

şəklində çoxcəhədli olsun. Bu zaman fərdi həlli

şəklində axtaracağıq. Əgər olarsa, yəni k=0 ədədi xarakteristik tənliyin kökü olmazsa (2)-ni tənlikdə yerinə yazıb, əmsalların bərabərliyindən alınan tənliklər sistemindən

məchullarını təyin edərək (1) tənliyinin fərdi həllini müəyyənləşdirmiş oluruq.
Ola bilsin ki, olsun. Ümumiliyi pozmaq üçün ümumiyyətlə

qəbul edək. Onda tənlik

şəklində olar. Yəni k=0 ədədi (3) tənliyinə uyğun olan bircins tənliyin dəfə təkrarlanan köküdür əvəzləməsi aparsaq (3) tənliyi

olduğundan (4) tənliyinin fərdi həllini

şəklində axtarıb taparıq. əvəzləməni nəzərə alsaq:

və yaxud

alarıq.
Deməli (1) tənliyinin sağ tərəfi m dərəcəli çoxhədli olduğundan fərdi həlli k=0 ədədi xarakteristik tənliyin kökü deyilsə,

Şəklində k=0 ədədi xarakteristik tənliyin dəfə təkrarlanan köküdürsə, fərdi həlli

şəklində axtarmaq lazımdır.

2. 
   Tutaq ki, (1) tənliyinin sağ tərəfi
   

şəklindədir. Burada -m dərəcəli çoxhədlidir. Fərz edək ki, P ədədi xarakteristik tənliyin kökü deyil, onda fərdi həlli

şəklində axtaraq m- dərəcəli çoxhədlidir. Başqa sözlə fərdi həlli sağ tərəfdəki funksiyanın özü şəklində axtaraq. (5)-i (1)-də yerinə yazıb, hər tərəfi -ə bölsək, iki çoxhədlinin cəbri bərabərliyindən naməlum əmsalları təyin edə bilərik. Əgər P ədədi xarakteristik tənliyin dəfə təkrarlanan kökü olarsa, bizə məlum olan qayda ilə

şəklində əvəzləmənin köməyi ilə (1) tənliyinə uyğun bircins tənliyi elə bir tənliyə çevirmiş olarıq ki, k=0 ədədi onun xarakteristik tənliyinin dəfə təkrarlanan kökü olar. Onda alınmış qeyri-bircins tənliyin fərdi həlli

olar. Deməli (1) tənliyinin sağ tərəfi

şəklində olarsa, fərdi həlli P ədədi xarakteristik tənliyin kökü olmazsa

şəklində axtarmaq lazımdır.

3. 
   Tutaq ki, (1) tənliyinin sağ tərəfi
   

şəklindədir. Burada və dərəcələri m-n aşmayan, hətta eyniliklə 0-a bərabər olan çoxhədlilərdir. Eyler düsturlarının köməyi ilə f(x) funksiyasının çevrilmiş şəkli

olar. Doğurdan da


olduğundan

olar. Bu ifadələri yerinə yazsaq və qruplaşdırsaq f(x) funksiyasının həllin şəklini almış olarıq. Əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökü olmazsa, fərdi həlli II hala uyğun olaraq

şəklində axtarırıq və yaxud

şəklində axtarmaq lazımdır. Burada və m dərəcəli çoxhədlidir.
Əgər ədədi xarakteristik tənliyin dəfə təkrarlanan köküdürsə, onda bundan əvvəlki hala analoji mühakimə aparıb,

şəklində fərdi həllin axtarılmasına gəlirik.
Əgər (1) tənliyinin sağ tərəfi müxtəlif funksiyaların cəmindən ibarət olarsa, onda fərdi həlli müəyyənləşdirmək üçün superpazisiya qaydasından istifadə etmək lazımdır.