Tənliyə nəzərən həll edilmiş birtərtibli tənlik üçün həllin varlığı və yeganəliyi

Teorem 3. əmsalları parçasında kəsilməyən
(1)
Xətti bircins tənliyin ümumi həlli onun parçasında xətti asılı olmayan fərdi həllərinin
(2)
xətti kombinasiyasıdır. Ci lər ixtiyari sabitlərdir.
İsbatı. (1) tənliyi həllin varlığı və yeganəliyi teoreminin bütün şərtlərini ödədiyindən (2) xətti kombinasiyasını (1) tənliyinin ümumi həlli olduğunu isbat etmək üçün istənilən başlanğıc şərti ödəyən fərdi həllin (2)-dən yeganə qayda ilə təyin olunmasının mümkünlüyünü göstərmək kifayətdir. Hər hansı
(3)
başlanğıc şərtinə baxaq.
(4)
(4) sisteminin baş determinantı (1) tənliyinin parçasında xətti asılı olmayan həllərinin vronsk determinantı olduğundan

Onda (4) sisteminin yeganə həlli vardır. sabitlərinin bu sistemdən təyin olunan yeganə qiymətlərini (2)-yə yerinə yazsaq, onda (3) başlanğıc şərtlərini ödəyən yeganə həlli almış olarıq.
Nəticə. N-tərtibli xətti-bircins tənliyin hər hansı parçada xətti asılı olmayan həllərinin maksimal sayı tənliyin tərtibinə bərabərdir.

Fundamental həllər sistemi.
n-tərtibli xətti bircins diferensial tənliyin n sayda hər hansı xətti asılı olmayan

Həllərinə bu tənliyin fundamental həllər sistemi deyilir. istənilən xətti-bircins diferensial tənliyin fundamental həllər sistemi mövcuddur. Bunun üçün sayda

ədədlərini elə seçmək lazımdır ki,

şərti ödənilsin. Verilmiş başlanğıc şərtlərə uyğun . Fərdi həllərini tapsaq onların Vronsk determinantı nöqtəsində 0-dan fərqli olduğundan həllin fərdi həllər verilmiş tənliyin parçasında fundamental həllər sistemini əmələ gətirəcəkdir.
Lemma.Əgər əmsalları parçasında kəsilməyən


tənliklərinin parçasında ortaq

fundamental həllər sistemi varsa, onda bu tənliklər üst-üstə düşür. Yəni


İsbatı. Verilən tənlikləri tərəf-tərəfə çıxsaq:

tənliyini alarıq. funksiyalarının hər biri verilmiş tənliklərdən hər birinin həlli olduğundan bu funksiyalar alınmış tənliyin də həlli olacaqdır. əgər hər hansı nöqtəsində əmsallarından heç olmazsa biri 0-dan fərqli olarsa, onda xətti asılı olmayan funksiyaları tərtibi (n-1)-i aşmayan xətti bircins tənliyin həlləri olacaqdır. Bu isə mümkün deyil. Çünki xətti asılı olmayan həllərin sayı tərtibdən böyük ola bilməz. Deməli

Buradan belə bir nəticəyə gəlmək olar ki, fundamental həllər sisteminə görə tənliyi yeganə qaydada təyin etmək mümkündür.
Doğurdan da tutaq ki, funksiyaları parçasında xətti asılı olmayan funksiyalardır. Aydındır ki, n-tərtibli diferensial tənliyin fundamental həllər sistemi qəbul etsək, o tənliyin istənilən y həlli bu funksiyaların xətti konbinasiyası olacaqdır və deməli onların Vronsk determinantı

olacaqdır.

Bu determinantı axırıncı sütun elementlərinə görə açsaq:

alınan tənlik fundamental həllər sisteminə görə qurmaq istədiyiniz xətti-bircins tənlikdir. Əgər funksiyalarının baxılan parçada xətti asılı olmadıqlarını nəzərə alsaq, tənliyin hər tərəfini əmsalına bölərək alınmış bircins tənliyi

şəklinə gətirmiş olarıq. Bu zaman

olduğunu nəzərə alsaq:

alarıq. Buradan


Yuxarı sərhəddi dəyişən inteqralın xassəsini nəzərə alsaq:
(1)
olarsa

olduğundan
(2)

1. 
   və (2) düsturlarına Lyuvill düsturu deyilir.