TəTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika faküLTƏSİ Bakalavr pilləsi üzrə "Tətbiqi Riyaziyyat" ixtisası a/b 396 saylı qrupun tələbəsi

3.4 (xi-kvadrat) uzlaşma kriterisi

Statistikada paylanma qanunlarına aid hipotezlərin yoxlanılmasında ən geniş tətbiq olunan kriterisidir.

tədqiq olunan təsadüfi kəmiyyət olsun. Bu təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununun olduğunu ( hipotezi) fərz edək. hipotezinin doğru seçilib-seçilməməsini yoxlayaq. Bu hipotezi yoxlamaq üçün sayda bir-birindən asılı olmayan müşahidələr aparılır və alınmış nəticələr əsasında tədqiq olunan kəmiyyətin empirik paylanma funksiyası tə’yin olunur. empirik paylanma funksiyası ilə nəzəri paylanma funksiyasının müqayisə edilməsi üçün xüsusi olaraq seçilmiş təsadüfi kəmiyyətlər – uzlaşma kriteriləri vardır. Bunlardan Pirsonun , Kolmoqorov (lambda kriterisi), Smirnov, Romanovski, Yastremskoy və s. kriterilərini misal gətirmək olar.

Pirsonun kriterisi ilə tanış olaq. -nin ala biləcəyi qiymətlər oblastını sayda cüt-cüt kəsişməyən intervallarına bölək və hər bir intervalında -nin aldığı qiymətlərin sayını müəyyənləşdirək. nəzəri paylanma funksiyasının məlum olduğunu fərz etsək, təsadüfi kəmiyyətinin intervalından qiymətlər alması ehtimalı -ni həmişə hesablamaq mümkündür; bu halda -nin aldığı qiymətlərdən intervalındakılarının nəzəri sayı , empirik sayı isə olacaqdır. Dediklərimiz aşağıdakı cədvəldə verilir:

– -ci interval			. . .		. . .
– empirik say			. . .		. . .
– nəzəri say			. . .		. . .

Burada kəmiyyəti sayda aparılmış sınaqlarda üçün müşahidə olunmuş qiymətlərdən intervalından olanların sayıdır və ; .

Əgər empirik tezliklər nəzəri tezliklərdən xeyli fərqlənirsə, hipotezi qəbul edilmir, əks halda – hipotez qəbul edilir.

Əgər yoxlanılan hipotezi doğru seçilmişdirsə, təsadüfi kəmiyyəti riyazi gözləməsi , dispersiyası isə olan binomial qanunla paylanmışdır. Onda olduqda

^,

təsadüfi kəmiyyəti riyazi gözləməsi sıfır, dispersiyası vahid olan normal qanunla paylanmışdır ((0; 1) parametrli normal qanunla).

Qeyd edək ki, – xətti asılı təsadüfi kəmiyyətlərdir. Doğrudan da,



.

Riyazi statistikaya aid bir çox ədəbiyyatda isbat olunmuşdur ki, olduqda

(1)

statistikası sərbəstlik dərəcəsi sayı olan paylanması ilə paylanmışdır. Beləliklə, qiymətlərində ilə arasındakı fərqin ölçüsü kimi

(2)

kriterisindən istifadə olunur.

kriterisinin tətbiqi aşağıdakı qaydada aparılır:

1) statistikası (2) düsturu ilə hesablanır;

2) mühümlük ölçüsü seçilir;

3) paylanması üçün tutulmuş cədvəldən təyin olunur;

4) olarsa, qəbul edilmir, olarsa, qəbul edilir.

təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu məlum olarsa, mühümlük ölçüsünə ( -ya) əsasən irəli sürülmüş hipotezi yoxlamaq üçün mühümlük hüdudunu təyin etmək olur.

Qeyd edək ki, paylanma qanunu üçün irəli sürülmüş hipotezin yoxlanılmasında yalnız birinci növ səhvin olub-olmadığına nəzarət edilir.

Bir daha qeyd edək ki, (2) düsturu ilə verilmiş

statistikası yalnız olduqda paylanması ilə paylanmışdır və buna əsasən də bu kriteridən istifadə etmək istədikdə, hər bir intervalda üçün müşahidə olunan seçimi qiymətlərin sayı ən azı 5–10 olmalıdır. Əgər bəzi intervallarda bu say kiçik olarsa, məsələn, 1–2 olarsa, onda onları birləşdirmək məqsədəuyğundur.

Misal: Metal pul 100 dəfə atılır, ; gerb üzü 65 dəfə, şəbəkə üzü 35 dəfə düşmüşdür: . . Əgər pul simmetrikdirsə , .

Alınmış bu qiyməti yəni və ya sınaqları seriyasında hər bir sınaqda ehtimalı ilə baş verən hadisənin dəfə baş verməsi tezliyini qiymətləndirmək üçün Muavr-Laplas düsturunu tətbiq etdikdə,

olduğunu alırıq. , olduqda riyazi gözləməsi 0, dispersiyası 1-ə bərabər – standart normal qanunu ilə paylanır. Bu halda Pirson nəticəsi binomial paylanmanın approksimasiyasında alınan normal qanunla üst-üstə düşür.

Nəticə

Təqdim olunan iş dahi ingilis riyaziyyatçısı, müasir statistikanın atası sayılan Karl Pirsonun – Pirson kriteriyasına həsr olunmuşdur. Bu, Karl Pirson 1900-cü ildə statistik modelin müşahidə nəticələri ilə uzlaşdığını yoxlamaq üçün sadə, universal və effektiv bir metod təklif etmişdir. Hipotezlərin yoxlanılması üçün tətbiq olunan bu metod – Pirson -kriterisi (xi-kvadrat kriterisi) – ən mühüm və ən çox istifadə olunan statistik kriteri olub, müasir riyazi statistikanın fundamenti hesab olunur. paylanması statistik hipotezlərin yoxlanması üçün ən geniş istifadə olunan paylanmalardan biridir. paylanmasının əsasında ən güclü uyğunluq kriterilərindən kriterisi qurulmuşdur. Uyğunluq kriterisi naməlum paylanma qanunu haqqında hipotezin yoxlanılması kriterisi adlanır.

kriterisi müxtəlif paylanmaların hipotezlərinin yoxlanması üçün istifadə olunur. Onun üstünlüyü məhz bundadı.

Təqdim olunan işdə kriterisinin istifadə ilə hipotezlərin yoxlanılması zamanı empirik (müşahidə olunan) və nəzəri (normal paylanma ilə hesablanmış) tezliklər müqayisə olunmuşdur. kriterisi – tezliklərin paylanmasını normal qanunla paylanmasından asılı olmayaraq müqayisə etməyə imkan verir.

Tətbiqinə aid misal da verilmişdir.