To’plam haqida tushuncha. To’plamlar ustida amallar. To'plam haqida tushuncha

Natural sonlar. Tub va murakkab sonlar . Arifmetikaning asosiy

teoremasi.

1. 
   Tub va murakkab sonlar. Narsalarni sanashda ish-latiladigan sonlar natural sonlar
   

deyiladi. Barcha natural sonlar hosil qilgan cheksiz to'plam 7Vharfi bilan belgila-nadi: N={l, 2,
..., n, ...}.
Natural sonlar to'plamida eng katta son (element) mavjud emas, lekin. eng kichik son (element) mavjud, u 1 soni. 1 soni faqat 1 ta bo'luvchiga ega (1 ning o'zi). 1 dan boshqa barcha natural sonlar kamida ikkita bo'luvchiga ega (sonning o'zi va 1).
1 dan va o'zidan boshqa natural bo'luvchiga ega bo'l-magan 1 dan katta natural son tub son deyiladi. Masalan, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sonlar 20 dan kichik bo'lgan barcha tub sonlardir. 1 dan va o'zidan boshqa natural bo'luvchiga ega bo'lgan 1 dan katta natural son murakkab son deyiladi. Masalan, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 sonlar 20 dan kichik bo'lgan barcha murakkab sonlardir.
Tub va murakkab sonlarga berilgan ta'riflardan 1 soni na tub, na murakkab son ekanligi ma'lum bo'ladi. Bunday xossaga ega natural son faqat 1 ning o'zidir.
Natural sonlarning ayrim xossalarini qaraymiz.

1. 
   xossa. Har qanday p > 1 natural sonining 1 ga teng bo'lmagan bo'luvchilarining eng kichigi tub son bo'ladi.
   

Isbot. p> 1 natural sonning 1 ga teng bo'lmagan eng kichik bo'luvchisi q bo'lsin. Uni murakkab son deb faraz qilaylik. U holda murakkab sonning ta'rifiga ko'ra, q soni
1< q_l < q shartga bo'ysunuvchi q₁ bo'luvchiga ega bo’ladi va q₁ soni p ning ham bo'luvchisi bo'ladi. Bunday bo'lishi esa mumkin emas. Demak, q — tub son.

2. 
   x o s s a. Murakkab p sonining 1 dan katta eng kichik bo'luvchisi dan katta bo'lmagan tub sondir.
   

I s b o t. p — murakkab son, q esa uning 1 dan farqli eng kichik bo'luvchisi bo'lsin.
U holda (bunda q_l bo'linma) va bo'ladigan q, natural son maviud bo'ladi. Bu munosabatlardan yoki

ni olamiz.

1- xossaga ko'ra q soni tub sondir.
3- xo ssa (Yevklid teoremasi). Tub sonlar cheksiz ko'pdir.
I s b o t. Barcha tub sonlar n ta va ular q_l, q₂, ..., q_n sonlaridan iborat bo'lsin deb faraz qilaylik. U holda b = q₁• q₂•...• q_n + 1 soni murakkab son bo'ladi, chunki q_l , q₂,..., q_n sonlardan boshqa tub son yo'q (farazga ko'ra). b ning 1 ga teng bo'lmagan eng kichik bo'luvchisi q bo'lsin. 1- xossaga ko'ra, q tub son va q₁ ,q₂, ..., q_n sonlarining birortasidan iborat. b va q₁ • q₂-... • q_n sonlarining har biri q ga bo'linganligi uchun 1 soni ham q ga bo'linadi. Bundan, q = 1 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa q≠ 1 ekanligiga zid. Farazimiz noto'g'ri. Demak, tub sonlar cheksiz ko'p.
Biror « sonidan katta bo'lmagan tub sonlar jadvalini tuzishda Erαtosfen g'αlviri deb ataladigan oddiy usuldan foydalanadilar. Uning mohiyati bilan tanishamiz. Ushbu:
1,2,3,.,.,n (1)
sonlarini olaylik. (1) ning 1 dan katta birinchi soni 2; u faqat 1 ga va o'ziga bo'linadi, demak, 2 tub son. (1) da 2 ni qoldirib, uning karralisi bo'lgan hamma murakkab sonlarni o'chi-ramiz; 2 dan keyin turuvchi o'chirilmagan son 3; u 2 ga bo'linmaydi, demak, 3 faqat 1 ga va o'ziga bo'linadi, shu-ning uchun u tub son. (1) da 3 ni qoldirib, unga karrali bo'lgan hamma sonlarni o'chiramiz; 3 dan keyin turuvchi o'chirilmagan birinchi son 5 dir; u na 2 ga va na 3 ga bo'linadi. Demak, 5 faqat 1 ga va o'ziga bo'linadi, shuning uchun u tub son bo'ladi va h.k.
Agar p tub son bo'lib, p dan kichik tub sonlarga bo'linadigan barcha sonlar yuqoridagi usul bilan o'chirilgan bo'lsa, p² dan kichik barcha o'chirilmay qolgan sonlar tub son bo'ladi.Haqiqatan, bunda p² dan kichik har bir murakkab a son, o'zining eng kichik tub bo'luvchisining karralisi bo'l-gani uchun o'chirilgan bo'ladi. Shunday qilib:

1. 
   tub son p ga bo'linadigan sonlarni o'chirishni p² dan boshlash kerak;
   
2. 
   n dan katta bo'lmagan tub sonlar jadvalini tuzish, dan katta bo'lmagan tub sonlarga bo'linuvchilarini o'chirib bo'lingandan keyin tugallanadi.
   

1. 
   m i s o 1. 827 sonining eng kichik tub bo'luvchisini toping.
   

Y e c h i s h . dan kichik bo'lgan tub sonlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ekanligini aniqlab, 827 ni shu sonlarga bo'lib chiqamiz. 827 u sonlarning hech qaysisiga bo'linmaydi, bundan 827 ning tub son ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   misol. 15 va 50 sonlari orasida joylashgan tub sonlarni aniqlang.
   

Yechish. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 sonlarni olib, 2, 3, 5, 7 ga karrali sonlarning
tagiga chi-zamiz. 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47 sonlari izlangan tub sonlardir.
Natural sonlar qatorida tub sonlar turlicha taqsim-langan. Ba'zan qo'shni tub sonlar bir- biridan 2 gagina farq qiladi, masalan, 11 va 13, 101 va 103 va hokazo. Bu sonlar egizak tub sonlar deyiladi. Egizak tub sonlar to'p-lamining chekli yoki cheksizligi hozirgacha noma'lum. Hisoblash mashinalari yordami bilan juda katta tub sonlar topilgan. Masalan, 25000 xonali 2⁸⁶²⁴³- 1 son tub sondir.

1. 
   teorema (arifmetikaning asosiy teoremasi). Har qanday murakkab son tub sonlar ko'paytmasiga yoyiladi va agar ko'paytuvchilarning yozilish tartibi nazarga olinmasa, bu yoyilma yagonadir.
   

I s b o t. α, — murakkab son, q_{ esa uning eng kichik tub bo'luvchisi bo'lsin. a_{ ni q_χ ga bo'lamiz: Agar a₂ tub son bo'lsa, a_l son tub ko'paytuvchilarga yoyilgan bo'ladi. Aks holda, a₂ ni o'zining eng kichik tub bo'luvchisi q₂ ga bo'lamiz:
Agar a₃ tub son bo'lsa, bo'ladi. q₁ , q₂, a₃ sonlari tub sonlar bo'lgani uchun, a₁ soni tub ko'paytuvchilarga yoyilgan bo'ladi. Agar α₃ murakkab son bo'lsa, yuqoridagi jarayon davom ettiriladi. ekanligidan ko'rinadiki, bir necha qa-damdan so'ng albatta
o_πtub soni hosil bo'ladi va a_} soni shaklni oladi. Demak, har qanday natural son tub ko'paytuvchilarga yoyiladi.a soni ikki xil ko'rinishdagi tub ko'paytuvchilar yoyil- masiga ega bo'ladi, deb faraz qilaylik:
U holda

(4) tenglikning ikki tomonida hech bo'lmaganda bittadan tub son topiladiki, u sonlar bir-biriga teng bo'ladi. deb faraz qilaylik. Tenglikning ikkala tomonini
ga isqartirsak bo'ladi. Bu tenglikustiαa ham yuqoridagidak mulonaza yuritsak, bo'ladi va hokazo. Bu jarayonni davom ettirsak, n - 1 qadamdan so'ng tenglikni olamiz. Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoyilma yagona ekan.