To‘plamlar nazariyasi

1.6. Munosabatlar kompozitsiyasi
A={a,b,c}, B={1,2,3}, C={α,β,γ} to‘plamlarda aniqlangan vа binаr munosаbаtlаrning kopаytmаsi yoki kompozitsiyasi topilsin:

1.6.0.	R1={(a,2),(a,3),(b,1),(c,2)}, R2={(1,α),(2,α),(2,β), (3,γ)}	1.6.15.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(1,α),(1,β)}
1.6.1.	R1={(a,3),(b,2),(c,1),(c,2)}, R2={(1,β),(2,α),(3,β), (3,γ)}	1.6.16.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(3,α),(1,β)}
1.6.2.	R1={(a,1),(a,3),(c,1),(c,3)}, R2={(2,α),(2,γ),(1,β), (3,α)}	1.6.17.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(3,β)}
1.6.3.	R1={(a,2),(b,1),(c,3)}, R2={(1,β),(2,β), (3,α)}	1.6.18.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(3,γ),(2,α),(2,β)}
1.6.4.	R1={(a,3),(b,2),(c,1)}, R2={(1,γ),(2,α),(3,α)}	1.6.19.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(3,α),(2,β)}
1.6.5.	R1={(a,2),(b,3),(c,1)}, R2={(1,γ),(2,β),(3,α)}	1.6.20.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(3,β)}
1.6.6.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.21.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,β)}
1.6.7.	R1={(a,1),(a,2),(a,3)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.22.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,γ)}
1.6.8.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(2,β)}	1.6.23.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,β)}
1.6.9.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.24.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(2,α),(2,β)}
1.6.10.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.25.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(2,α),(2,γ)}
1.6.11.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(1,β)}	1.6.26.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(2,β),(2,γ),(3,α)}
1.6.12.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.27.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(3,α),(2,γ)}
1.6.13.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(1,β)}	1.6.28.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(1,β),(3,α),(3,γ)}
1.6.14.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.29.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(3,γ),(2,β)}

0-topshiriqning ishlanishi.
1.6.0. vа binаr munosаbаtlаrning kopаytmаsi yoki kompozitsiyasi,
kabi aniqlanadi, shunga ko‘ra:
{(a,2);(a,3);(b,1);(c,2)} {(1,α);(2,α);(2,β);(3,γ)}=
={(a,β);(a,α);(a,γ);(b,α);(c, α);(c, β)}

2-usul. R₁ va R₂ munosabatlarni quyidagicha chizmalarda ifodalab olamiz:

A to‘plam elementlarini B to‘plam elementlari orqali C to‘plam elementlari bilan bog‘lash mumkin bo‘lgan yo‘llarning uchlaridan iborat bo‘lgan to‘plamga R₁ va R₂ munosabatlarning kompozitsiyasini tashkil qiladi.

1.7. Munosabatlarni funksiyaga tekshirish
A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan quyidagicha R munosabatlar funksiya bo‘ladimi? Agar bo‘lsa in’yektiv, syur’yektiv, biyektiv funksiya bo‘ladimi?

1.7.0.	R={(1,a),(1,b),(2,a),(3,d)}	1.7.15.	R={(3,b),(2,a),(1,c),(4,d)}
1.7.1.	R={(1,a),(2,b),(3,a),(4,d)}	1.7.16.	R={(4,c),(3,b),(3,a),(4,d)}
1.7.2.	R={(1,a),(2,c),(3,b),(3,d)}	1.7.17.	R={(4,a),(1,b),(2,a),(3,c)}
1.7.3.	R={(2,a),(1,b),(2,c),(4,d)}	1.7.18.	R={(3,b),(2,c),(1,a),(4,d)}
1.7.4.	R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}	1.7.19.	R={(2,a),(3,b),(4,b),(3,a)}
1.7.5.	R={(2,a),(1,b),(3,d),(4,c)}	1.7.20.	R={(1,a),(2,b),(3,a),(4,d)}
1.7.6.	R={(1,b),(2,c),(3,c),(4,d)}	1.7.21.	R={(4,c),(2,a),(3,a),(3,d)}
1.7.7.	R={(4,a),(3,b),(2,a),(3,c)}	1.7.22.	R={(3,a),(1,b),(2,c)}
1.7.8.	R={(3,a),(1,b),(2,a),(4,d)}	1.7.23.	R={(2,a),(1,b),(4,c),(3,d)}
1.7.9.	R={(1,a),(4,b),(2,d),(3,c)}	1.7.24.	R={(4,b),(1,c),(2,d),(3,c)}
1.7.10.	R={(4,d),(1,b),(2,c),(3,a)}	1.7.25.	R={(2,a),(1,b),(3,c),(4,d)}
1.7.11.	R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,b)}	1.7.26.	R={(2,b),(3,a),(4,c),(1,d)}
1.7.12.	R={(3,a),(4,b),(2,d),(3,c)}	1.7.27.	R={(4,c),(2,b),(3,a),(1,d)}
1.7.13.	R={(4,b),(3,a),(2,c),(3,d)}	1.7.28.	R={(3,a),(2,b),(4,a),(1,c)}
1.7.14.	R={(4,a),(1,b),(2,d),(3,c)}	1.7.29.	R={(4,a),(1,b),(2,c),(3,d)}

0-topshiriqning ishlanishi:
1.7.0. A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan R={(1,a),(1,b),(2,a),(3,d)} munosabat funksiya bo‘ladimi? Agar bo‘lsa in’yektiv, syur’yektiv, biyektiv funksiya bo‘ladimi?
R AxB munosabat funksiya bo‘ladi, agar quyidagicha 2 ta shart bajarilsa:
1) , ,
2) , ekanligidan ekanligi kelib chiqsa
R munosabatga A to‘plamdan B to‘plamga funktsiya yoki akslantirish bo‘ladi, shunga ko‘ra :
1) D_l (R)={1,2,3} A, D_r (R)={a,b,d} B;
2) (1,a) R, (1,b) R ekanligidan a=b ekanligi kelib chiqishi lozim edi, lekin
a b, chunki to‘plamda bitta element faqat bir marta qatnashadi, B to‘plamda
esa ushbu elementlar alohida-alohida berilgan. Demak R munosabat funksiya
bo‘la olmaydi.


1.8. Analitik, grafik ko‘rinishda berilgan funksiyalarni
in’yektivlik, syur’yektivlik, biyektivlikka tekshirish.

Quyidagicha aniqlangan f_i(x):[0;+1]→[0;+1] funksiyalar in‘yektiv bo‘ladimi? Syur‘yektiv bo‘ladimi? Biyektiv bo‘ladimi? Javoblaringizni isbotlang?

1 .8.0. 1.8.1. 1.8.2


1 .8.3. 1.8.4. 1.8.5.
1.8.6. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv ham, syur’yektiv ham bo‘lmagan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.7. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv bo‘lgan, syur’yektiv bo‘lmagan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.8. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv bo‘lmagan, syur’yektiv bo‘lgan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.9. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv ham, syur’yektiv ham bo‘lgan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
Quyidagicha aniqlangan f_i(x):(-∞;+∞)→(-∞;+∞) funksiyalar in‘yektivlik, syur’yektivlik, biyektivlikka tekshirilsin:
1.8.10. f₁(x)=x² 1.8.11. f₂(x)=lnx 1.8.12. f₃(x)=x*sinx
1.8.13. f₄(x)=tgx 1.8.14. f₅(x)=2x+1 1.8.15. f₆(x)=sinx
1.8.16. f₇(x)=cosx 1.8.17. f₈(x)=ctgx 1.8.18. f₉(x)=a^x
1.8.19. f₁₀(x)=log_ax 1.8.20. f₁₁(x)=2*x+1 1.8.21. f₁₂(x)=x³
1.8.22. f₁₃(x)=1/x 1.8.23. f₁₄(x)=1/(x+1) 1.8.24. f₁₅(x)=x³-4x
0- topshiriqlarning ishlanishi:
1.8.0. Topshiriqda grafik ko‘rinishda berilgan f₁(x) [0;1]x[0;1]=AxB munosabatni funksiyaga tekshiramiz:
1) D_l(f₁)=[0;0.5] A, D_r(f₁)=[0;1]=B
2) , ekanligidan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni bitta x qiymatga turli xil y lar mos qo‘yilmagan. Demak f₁(x) qisman funksiya bo‘ladi.
uchun ekanligidan kelib chiqqanligi, ya’ni turlicha x lar uchun turli xil y lar mos kelganligi uchu bunday funksiya in‘yektiv funksiya bo‘ladi.
D_r(f₁)=[0;1]=B funksiyaning qiymatlar sohasi B to‘plamga teng bo‘lgani uchun f₁(x) funksiya syur’yektiv funksiya bo‘ladi.
f₁(x) in’yektiv emas, syur‘yektiv funksiya bo‘lgani uchun biyektiv funksiya bo‘lmaydi.
1.9. Sanoqsiz to‘plamlar quvvatni toppish.


1.9.0. [1, 5] kesma quvvati aniqlansin?
1.9.1. B={1, 3, 5, …} to‘plam quvvati topilsin?
1.9.2. Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …} butun sonlar to‘plami quvvati topilsin?
1.9.3. Q={ n N, m Z} rasional sonlar to‘plami quvvati topilsin?
1.9.4. 3 ga bo‘lganda 2 qoldiq beradigan natural sonlar to‘plami quvvati topilsin?
1.9.5. A={2, 4, 6, …} to‘plam quvvati topilsin?
1.9.6.-1.9.30. misollarda berilgan oraliqlar quvvatlari aniqlansin va berilgan tasdiq isbotlansin.
1.9.6. [2, 7] 1.9.7. [3, 9] 1.9.8. [4, 7] 1.9.9. [5, 12] 1.9.10. (1, 4)
1.9.11. (2, 7) 1.9.12. (3, 6) 1.9.13. (4, 10) 1.9.14. (0, 7) 1.9.15. (-∞, 0)
1.9.16. (-∞, -2) 1.9.17. (-∞, +1) 1.9.18. (-∞, +2) 1.9.19. (-∞, -3) 1.9.20. (0, +∞) 1.9.21. (+4, +∞) 1.9.22. (+2, +∞) 1.9.23. (+5, +∞) 1.9.24. (+3, +∞)
1.9.25. (-∞, -4] 1.9.26. (-∞, -1] 1.9.27. [5, +∞) 1.9.28. (-3, +4]