Toshkent davlat agrar universiteti Andijon filiali Axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi iqtisodiy matematika

1-misol. erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi quyidagicha taqsimot qonuniga ega.

Berilgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun Chebishev teoremasi o‘rinlimi?

Yechish. Chebishev teoremasi shartlarini tekshiramiz:

Demak, dispersiyalar son bilan tekis chegaralangan va tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun Chebishev teoremasi o‘rinli.

2-misol. diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot bilan berilgan.

Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimolni baholang.

Yechish.
Demak,

Markaziy limit teorema haqida tushuncha
Shu paytga qadar biz ko‘p sondagi tajribalarning o‘rtacha xarakteristikalarining turg‘unligi haqida, aniqrog‘i ushbu

ko‘rinishdagi yig‘indilarning turg‘unligi haqida gapirib keldik. Ammo S_n miqdorning tasodifiy miqdor ekanligini va shuning uchun ham uning biror taqsimot qonuniga ega bo‘lishini unutmaslik lozim. Ana shu ajoyib fakt boshqa bir teoremalar gruppasining mazmunini tashkil qiladiki, ular markaziy limit teoremalar deb atalgan umumiy nom bilan birlashtiriladi: juda umumiy bo‘lgan shartlarda S_n uchun taqsimot qonun normal taqsimot qonuniga yaqin bo‘ladi.

S_n miqdor ushbu

X₁+X₂+…+X_n
yig‘indidan o‘zgarmas ko‘paytuvchigagina farq qilganligi uchun markaziy limit teoremasining mazmunini umumiy holda quyidagicha aytish mumkin: ko‘plab sondagi erkli tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimoti juda umumiy bo‘lgan shartlar bajarilganda normal taqsimotga yaqin bo‘ladi.
Ana shu bilan normal taqsimot qonunining muhim roli aniqlanadi, chunki ko‘p sondagi tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi bilan ehtimollar nazariyasining o‘zida ham, shuningdek, uning ko‘plab tatbiqlarida ham ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi.
Quyidagi ikkita savolga javob berish orqali markaziy limit teore-maning ma’nosini yanada oydinlashtiramiz.

1. 
   
   X₁+X₂+…+X_n­ yig‘indining taqsimot qonuni normal taqsimot qo-nuniga yaqin deyilgan tasdiqda qanday aniq ma’no yotadi?
   

2. Qanday shartlar bajarilganda bu yaqinlik o‘rinli bo‘ladi?

   
   

Bu savolga javob berish maqsadida ko‘p sondagi tasodifiy miqdor-larni emas, balki tasodifiy miqdorlarning ushbu

X₁+X₂+…+X_n....
cheksiz ketma-ketligini qaraymiz.
Ulardan

(n=1,2,3,…) (1)
ko‘rinishdagi “xususiy” yig‘indilarni tuzamiz. S_n tasodifiy miqdorlarning har biridan matematik kutilish 0 ga, dispersiyasi 1 ga teng bo‘lgan ushbu

(2)
ko‘rinishdagi “normalashtirilgan tasodifiy miqdor”ga o‘tamiz. Birinchi savolga javob shundan iboratki, muayyan shartlar bajarilganda tasodifiy miqdorning taqsimoti n ning o‘sishi bilan matematik kutilishi 0 ga dispersiyasi 1 ga teng bo‘lgan normal taqsimot qonuniga tabiiy ma’noda quyidagicha yaqinlashadi:

a va b, a sonlar qanday bo‘lmasin:

(3)
tasodifiy miqdorning taqriban normal taqsimotga ega bo‘lishi faktdan miqdorning ham taqriban normal taqsimlanishining kelib chiqishi tushunarlidir, chunki taqsimotnig normal xarakteri tasodifiy miq-dorlar ustidagi har qanday chiziqli almashtirish bajarilganda ham aniqla-nadi. X₁, X₂, X₃… tasodifiy miqdorlarga qo‘yiladigan shartlar masalasi-ga kelganda esa quyidagi mulohazalarni aytish mumkin. (1) tenglikdan ushbu

Tenglikni ayirib

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda X⁰ odatdagidek tasodifiy miqdorning o‘zi matematik kutilishidan chetlanishini belgilaydi.

(3) limit munosabatning o‘rinli bo‘lishi uchun kerak bo‘lgan shartni 1901-yilda rus matematigi A.M. Lyapunov keltirgan.
U quyidagidan iborat:
Aytaylik, berilgan X_i(i=0,1,2,3…) tasodifiy miqdorning har biri uchun ushbu

va
sonlarning ikkalasi ham chekli bo‘lsin. (d_i; X_i tasodifiy miqdorning dispersiyasi, K_i esa uning “uchinchi tartibli markaziy momenti” deb ataluv-chi momenti ekanini eslatib o‘tamiz)

Agar da

bo‘lsa, u holda X₁, X₂, X₃… ketma-ketlik Lyapunov shartini qanoatlantiradi deb aytamiz.

Endi biz A.M. Lyapunov formasidagi markaziy limit teoremasini tavsiflash imkoniyatiga egamiz.