Chebishev tengsizligi. Ixtiyoriy son uchun
yoki
Amaliyot uchun Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan bo‘lib, u ba’zan trivial baho beradi. Chebishev tengsizligining nazariy ahamiyati juda katta.
Chebishev teoremasi. Agar juft-juft erkli tasodifiy miqdorlar bo‘lib, ularning dispersiyalari yuqoridan tekis chegaralangan (ya’ni ) bo‘lsa, u holda musbat son har qancha kichik bo‘lganda ham
munosabat bajariladi.
Shunday qilib, Chebishev teoremasi bunday da’vo qiladi: agar dispersiyalari chegaralangan tasodifiy miqdorlarning ko‘p sondagisi qaralayotgan bo‘lsa, u holda bu tasodifiy miqdorlar arifmetik o‘rtacha qiymatning ularning matematik kutilishlari arifmetik o‘rtacha qiymatidan chetlanishi absolut qiymat bo‘yicha istalgancha kichik bo‘lishidan iborat hodisani deyarli muqarrar deb hisoblash mumkin.
Teorema isboti. Chebishev tengsizligini
tasodifiy miqdorga nisbatan qo‘llaymiz. Matematik kutilish, dispersiyaning xossalaridan foydalanib va teorema shartlariga ko‘ra quyidagilarni hosil qilamiz.
(*)
Bularni (*) tengsizlikka qo‘ysak:
va ixtiyoriy hodisa ehtimoli 1 dan katta emasligini hisobga olsak:
Bu munosabatda da limitga o‘tsak, teorema tasdig‘i kelib chiqadi.
Teorema isbotlandi.
Chebishev teoremasida biz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari har xil deb faraz qilgan edik. Amaliyotda esa tasodifiy miqdorlar ko‘pincha bir xil matematik kutilishga va dispersiyaga ega bo‘ladi. Bu holda,
bo‘lishini tushunish qiyin emas.
Qaralayotgan xususiy holda, Chebishev teoremasi quyidagicha ta’riflanadi.
Teorema. Agar tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli bo‘lib, bir xil matematik kutilishga va chekli dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son berilganda ham
Aytaylik, ta erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lsa, ularning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli ga teng bo‘lsin. Hodisa ro‘y berishining nisbiy chastotasi qanday bo‘lishini oldindan ko‘ra bilish mumkinmi? Bu savolga Yakov Bernulli tomonidan isbotlangan quyidagi teorema ijobiy javob beradi.
Dostları ilə paylaş: |
