Toshkent davlat agrar universiteti Andijon filiali Axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi iqtisodiy matematika

Ko‘rsatkichli taqsimot
Ko‘rsatkichli (eksponensial) taqsimot deb
(bu yerda o‘zgarmas kattalik) zichlik funksiya bilan tavsiflangan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Ko‘rsatkichli taqsimotning taqsimot funksiyasini topamiz.
Demak,

Ko‘rsatkichli taqsimotning zichlik funksiyasi va taqsimot funksiyasi grafiklari quyidagi chizmada tasvirlangan.

f(x) F(x)
1

0 x 0 x
Ko‘rsatkichli taqsimotning matematik kutilishi, dispersiya va o‘rtacha kvadratik chetlanishi mos ravishda quyidagicha:

; ; ;
Ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorga misol bo‘lib, eng oddiy oqim ikkita ketmaket hodisaning ro‘y berishi orasidagi vaqt taqsimoti xizmat qilishi mumkin.
Bir necha muhim zichlik funksiyalarini keltiramiz:


Tekis taqsimlangan zichlik funksiya

Ko‘rsatkichli zichlik funksiya

,

Normal zichlik funksiya

,
bu yerda va - parametrlar.

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

1. Yong‘in natijasida ko‘rilgan zarar miqdori (shartli pul birligida) oraliqda tekis taqsimlangan. ni hisoblang.

   
   

2. tasodifiy miqdor zichlik funksiyasiga ega.

   
   

a) parametrni;

b) tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.

3. tasodifiy miqdor parametrli Pareto taqsimotiga ega:

   
   

a) ni hisoblang;

4. Avariya natijasida ko‘rilgan zarar miqdori va parametrli Pareto taqsimotiga ega. Avariya oqibatlari bo‘yicha sug‘urta shartnomasini tuzgan mijoz 500 pul birligida sug‘urta toplovini topladi.

   
   

a) Talab etilgan da’voning qiymati sug‘urta badalidan 2 barobar kam bo‘lish ehtimolini, yahni ni toping;

b) Talab etilgan da’voning qiymati sug‘urta badalidan 2 barobar ortiq bo‘lish ehtimolini, yahni ni toping.

5. tasodifiy miqdor (0,1) parametrli normal taqsimotga ega. ni hisoblang.

   
   

6. tasodifiy miqdor Koshi taqsimotiga ega:

   
   

a) tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini;

v) ni;
s) ni toping.

7. Shaxsiy mulk sug‘urtasi bo‘yicha 2 ta shartnomadan kelib tushgan tasodifiy da’vo miqdori mos ravishda va taqsimotga ega. SHu shartnomalar bo‘yicha da’vo miqdorlarii yig‘indisining taqsimotini toping.

   
   

8. funksiya qandaydir tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi ekanini ko‘rsating va ehtimolni toping.

   
   

9. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

   
   

a) parametrlarni;

b) ehtimolni;
v) ning zichlik funksiyalarini toping.

10. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

    
    

a) ni;
b) ni;

v) zichlik funksiyasini toping.

11. tasodifiy miqdor Reley taqsimotiga ega;

    
    

a) parametrni;

b) ning taqsimot funksiyasini;
v) zichlik funksiyasi maksimumga erishadigan nuqtani toping.

12. tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

    
    

a) ni;
b) tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini;

v) ni toping.

13. tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan;

    
    

a) ni;

b) ni toping.

14. Sug‘urta da’volari soni tasodifiy miqdor parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan. ning oraliqqa tushish ehtimolini toping.

    
    

15. Ma’lum hududdagi yoshi katta erkaklarning o‘rtacha bo‘yi bo‘lib, . Bu hududdan tavakkaliga tanlangan erkakning bo‘yi 165 bilan 180 sm orasiga tushish ehtimolini toping. Tanlanma normal taqsimlangan deb hisoblansin.

    
    

16. Katta yoshdagi ayolning bo‘yi tasodifiy miqdor bo‘lib, u normal qonun bo‘yicha taqsimlangan. Uning matematik kutilmasi 164 sm, o‘rtacha kvadratik chetlanishi 5,5 smga teng. Bu tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping va tavakkaliga olingan 5 ayoldan kamida bittasining bo‘yi oraliqda bo‘lish ehtimolini toping.

    
    

17. Standart normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning -2 va 1 orasidagi qiymatlarni qabul qilish ehtimolini toping.

    
    

18. Standart normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning -2,33 dan katta qiymatlarni qabul qilish ehtimolini toping.

    
    

19. normal taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lib, matematik kutilmasi va o‘rtacha kvadratik chetlanishi ning 407 bilan 415 orasidagi qiymatlarni qabul qilish ehtimoli nimaga teng?

    
    

20. normal taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lib, matematik kutilmasi va o‘rtacha kvadratik chetlanishi

    
    

a)
b)

v) ehtimollarni toping.

21. Viloyat mahmuriyati binosida liftni kutish vaqti tasodifiy bo‘lib, 0 bilan 5 minut orasida tekis taqsimlangan.

    
    

a) bu tekis taqsimot uchun taqsimot funksiyani yozing.

b) liftni 3,5 minutdan ko‘p kutish ehtimoli nimaga teng?

v) liftning dastlabki 45 sekund ichida kelish ehtimoli nimaga teng? g) liftni kutish vaqti 1 bilan 3 minut orasida bo‘lish ehtimoli nimaga teng?

22. Yil davomida kompaniya aktsiyalarining narxi normal taqsimotga bo‘ysinib, matematik kutilmasi 48 (shartli pul birligida) ga va standart chetlanishi 6 ga teng. Kuzatilayotgan davrning tasodifiy olingan kunida aktsiya narxi 60 dan ko‘p bo‘lishi ehtimoli nimaga teng? 60 dan kam bo‘lishi, 40 dan yuqori bo‘lishi, 40 bilan 50 orasida bo‘lishi ehtimoli nimaga teng?

    
    

23. tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan:

    
    

Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini tuzing va grafigini chizing.

24. uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

    
    

parametrni toping.

25. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va o‘rtacha kvadratik chetlanishi mos ravishda 12 va 2 ga teng. Bu tasodifiy miqdorning intervaldagi qiymatlarni qabul qilish ehtimolini toping.

    
    

26. Ma’lumki, bir gektar haydalgan yerga solinadigan o‘g‘itning o‘rtacha sarfi 80 kg ni tashkil etadi, o‘rtacha kvadratik chetlanish esa 5 kg ga teng. O‘g‘it sarfini normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deb hisoblab, solinadigan o‘g‘it ulushi 0,98 ehtimol bilan tushadigan oraliqni aniqlang.

    
    

27. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning o‘rtacha kvadratik chetlanishi 10 ga matematik kutilmasi esa 110 ga teng. Bu tasodifiy miqdorning oraliqqa tushish ehtimolini toping.

    
    

28. Ko‘rsatkichli taqsimotga ega bo‘lgan

    
    

tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimolini toping.

29. tasodifiy miqdor intervalda joylashgan bo‘lib, taqsimot funksiya bilan berilgan. tasodifiy miqdorning

    
    

a) 4 dan kichik;

b) 6 dan kichik;
v) 3 dan kichik bo‘lmagan;
g) 6 dan kichik bo‘lmagan qiymatlarni qabul qilish ehtimolini toping.

30. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorning o‘z matematik kutilishidan chetlanishi (absolyut qiymat bo‘yicha) o‘rtacha kvadratik chetlanishning uchlanganidan katta bo‘lmasligi ehtimolini baholang (uch sigma qoidasi).

    
    

31. Tasodifiy tanlangan talabaning bo‘yi normal qonunga bo‘ysinadi. Barcha talabalar 156 sm dan 192 sm gacha bo‘lgan bo‘yga ega deb, matematik kutilmani 174 ga teng bo‘lgan holda «uch sigma» qoidasi yordamida ni va ehtimollarni toping.

    
    

32. tasodifiy miqdor intervalda joylashgan bo‘lib, da maksimumga ega bo‘lgan kvadratik funksiya bilan berilgan. a, b, c parametrlarni toping va tasodifiy miqdorning intervalga tushishi ehtimolini hisoblang.

    
    

33. tasodifiy miqdor normal qonunga bo‘ysunadi va oraliqqa tushish ehtimoli 0,5 ga teng. Bu tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

    
    

34. tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

    
    

tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

35. Avtobus bekatga 5 minut interval bilan keladi. Avtobusni kutish vaqti tasodifiy miqdorni tekis taqsimlangan deb hisoblab, bu tasodifiy miqdor uchun o‘rtacha kutish vaqti va o‘rtacha kvadratik chetlanishni toping.

    
    

36. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

    
    

tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va o‘rtacha kvadratik chetlanishini toping.

37. tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan berilgan:

    
    

a) zichlik funksiyasini;

b) matematik kutilmasini;
v) dispersiyasini;
g) ehtimollarni toping;
d) va funksiyalarning grafiklarini chizing va unda matematik kutilma hamda ehtimollarni ko‘rsating.

38. fond birjasida bir kvartal davomida ta investorlar bilan qilingan shartnomalar soni bo‘lsin. Quyidagi jadvaldan foydalanib

    
    

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	2

tasodifiy miqdor uchun
1) poligon va empirik taqsimot funksiyasini tuzing;
2) a) o‘rtacha qiymatni;
b) dispersiyasini va o‘rtacha kvadratik chetlanishini toping.

39. Qurilma ishlashlari bir-biriga bog‘liqmas bo‘lgan, 1000 ta elementdan tashkil topgan. Ixtieriy elementni vaqt mobaynida ishdan chiqish ehtimoli 0,002 ga teng. a) vaqt mobaynida ishdan chiqqan elementlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing; b) bu tasodifiy miqdorning matematik qutilmasini va dispersiyasini toping; v) vaqt mobaynida hech bo‘lmaganda bitta element ishdan chiqish ehtimolini aniqlang.

    
    

40. O‘lchov asbobi shkalasi bo‘linmasining qiymati 0,2 ga teng. Asbob ko‘rsatkichi yaqin butun son bilan yaxlitlanadi. Hisoblashda yaxlitlash xatoligi tekis qonun bo‘yicha taqsimlangan deb hisoblab:

    
    

1) bu tasodifiy miqdorni matematik kutilmasi, dispersiyasi va o‘rta kvadratik chetlanishi;

2) yaxlitlash xatoligi ehtimoli a) 0,04 dan kichik; b) 0,05 dan katta bo‘lishi topilsin.

41. Qimmatli qog‘oz narxi normal taqsimlangan. Oxirgi yil mobaynida ish kunlarining 20% ida u 88 pul birligidan past,75% ida esa – 90 pul birligidan yuqori bo‘lgan: a) qimmatli qog‘oz narxining matematik qutilmasi va o‘rta kvadratik chetlanishi; b) sotib olinadigan kuni narx 83 dan 96 gacha pul birligi chegarasida bo‘lishligi ehtimolini; v) 0,95 ishonchlilik bilan qimmatli qog‘oz narxi o‘rta (kutiladigan) qiymatidan maksimal chetlanishi (absolyut qiymati bo‘yicha) aniqlansin.