Toshkent davlat agrar universiteti Andijon filiali Axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi iqtisodiy matematika

Misol. Tanga 6 marta tashlanadi. Gerbli tomon tushishlarining eng ehtimolli sonini toping.

Yechish. Berilgan masalaning shartlariga asosan, . U holda, gerbli tomon tushishlarining eng ehtimolli soni ni quyidagi qo‘sh tengsizlikdan foydalanib topamiz:

Demak, eng ehtimolli son 3 ekan.

Shunday qilib, eng ehtimolli sonni aniqlash jarayonida biz sonning Bernulli sxemasida maxsus o‘ringa ega ekanligiga ishonch hosil qilish imkoniga ega bo‘ldik. Bu shundan iborat bo‘ldiki, songa eng yaqin bo‘lgan ikkita butun sonlardan biri (ba’zan esa ikkalasi ham) eng ehtimolli son bo‘ldi.

son yuqoridagidan boshqa unga nisbatan muhimroq bo‘lgan talqinga ham ega ekan. Chunonchi, ni ma’lum ma’noda ta tajribalardagi muvaffaqiyatlarning o‘rtacha soni deb qarash mumkin.

Qisqalik uchun tajribaning marta takrorlanishini seriya deb ataymiz. Faraz qilaylik, biz biror songa teng, aytaylik, ta seriya o‘tkazgan bo‘laylik. Birinchi seriyada ta muvaffaqiyat, ikkinchisida ta va h.k. -seriyada esa ta muvaffaqiyat olingan bo‘lsin. Bu sonlarning o‘rta arifmetigini tuzamiz:

ortishi bilan ko‘rsatilgan o‘rta arifmetik biror o‘zgarmas qiymatga yaqinlashar ekan. Bunga ishonch hosil qilish maqsadida oxirgi munosabatni

ko‘rinishda yozib olamiz; so‘ngra quyidagi holni e’tiborga olamiz. ta seriya o‘tkazish bilan biz qaralayotgan tajribani marta amalga oshiramiz. Yuqorida yozilgan mahrajli kasr ana shu ta tajribalardagi muvaffaqiyatlar umumiy sonining barcha tajribalar soniga nisbati-dan boshqa narsa emas. ning o‘sishi (demak, ham o‘sishi) bilan bu kasr muvaffaqiyatning ehtimoli bo‘lgan songa yaqinlashadi. Demak,

ifoda songa yaqinlashadi. Ana shuni hosil qilish talab qilingan edi.

Misol. Ma’lum korxonaning sharoitida yaroqsizlikka yo‘l qo‘yish ehtimoli 0,05 ga teng. 100 ta mahsulot orasidagi yaroqsiz mahsulotlarning o‘rtacha soni nimaga teng?

Yechish. Izlanayotgan son ga teng bo‘ladi.
Ehtimollar nazariyasining tatbiqlarida va larning anchagina katta qiymatlarida ehtimollarni hisoblash zarurati tez-tez uchrab turadi. Masalan, quyidagi masalani yechish talab qilinsin:
Biror korxonada mahsulotning yaroqsizlikka yo‘l qo‘yish ehtimoli 0,05 ga teng. Tayyor mahsulotdan 500 ta buyum tekshiriladi. Bular orasida rosa 25 ta yaroqsiz buyum bo‘lish ehtimolini toping.
Har bir alohida buyumning tekshirilishini tajriba sifatida qarab, har birida hodisaning (buyum, yaroqsiz deb topiladi) yuz berish ehtimoli 0,05 ga teng bo‘lgan 500 ta erkli tajriba o‘tkazilya’ti deb ayta olamiz. Bernulli formulasi asosan

ni hosil qilamiz.

ning ifodasi ancha murakkab bo‘lganligi sababli bu ifodani bevosita hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi:

Shu sababli, ning katta qiymatlarida ehtimollar uchun taqribiy formulalar qidirish zaruriyati tug‘iladi. Bu formulalar La’lasning lokal limit teoremasi va integral limit teoremasi deb ataluvchi ikkita teore-madan kelib chiqadi.