Toshkent davlat agrar universiteti Andijon filiali Axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi iqtisodiy matematika

B
ernulli teoremasi. Agar ta erkli sinashning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas va sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lsa, u holda hodisa ro‘y berishi nisbiy chastotaning ehtimoldan chetlanishi absolut qiymat bo‘yicha istalgancha kichik bo‘lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo‘ladi.


Isbot. hodisa ro‘y berishlarining chastotasi ni quyidagicha ifodalash mumkin.
Bunda - hodisaning sinashdagi ro‘y berish sonini ifodalovchi tasodifiy miqdorlar. tasodifiy miqdorlar erkli bo‘lib, bir xil taqsimot qonuniga ega. Ya’ni:

Bu tasodifiy miqdorlar uchun

ekanligini tushunish qiyin emas.

va ekanligini hisobga olib, teorema isbotini keltirib chiqamiz.

Qaralayotgan holda Chebishev teoremasining barcha shartlari bajariladi. Teorema isbotlandi.
Bernulli teoremasi sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lganda nisbiy chastota nima uchun turg‘unlik xossasiga ega bo‘lishini tushuntiradi va ehtimolning statistik ta’rifini asoslaydi.
Chebishev teoremasining (yoki katta sonlar qonunining) mohiyati bunday: ayrim olingan erkli tasodifiy miqdorlar o‘z matematik kutilishlaridan ancha farq qiladigan qiymatlar qabul qilsada, yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlarning arifmetik o‘rtacha qiymati katta ehtimollik bilan tayin o‘zgarmas songa, chunonchi songa yaqin qiymatlarni qabul qiladi.
Boshqacha qilib aytganda, ayrim tasodifiy miqdorlar anchagina sochilgan bo‘lishi mumkin, lekin ularning arifmetik o‘rtacha qiymati kam tarqoq bo‘ladi.
Shunday qilib, har bir tasodifiy miqdor mumkin bo‘lgan qiymatlaridan qaysinisini qabul qilishini avvaldan aytish mimkin bo‘lmasada, katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisining qanday qiymat qabul qilishini oldindan ko‘ra bilish mumkin.
Katta sonlar qonuniga ko‘ra, yetarlicha katta sonlagi erkli tasodifiy miqdorlarning arifmetik o‘rtacha qiymati tasodifiylik xarakterini yo‘qotadi. Bu esa quyidagicha izohlanadi: har bir miqdorni o‘z matematik kutilishidan chetlanishi musbat ham, manfiy ham bo‘lishi mumkin, ammo arifmetik o‘rtacha qiymatda ular o‘zaro yo‘qolib ketadi.
Chebishev teoremasining amaliy ahamiyatiga doir quyidagi misolni keltiramiz.
Odatda, biror fizik kattalikni o‘lchash bir necha o‘lchashlar o‘tkaziladi va ularning arifmetik o‘rtacha qiymati izlanayotgan o‘lcham sifatida qabul qilinadi, qanday shartlarda bu usulni to‘g‘ri deb hisoblash mumkin? degan savolga Chebishev teoremasi javob beradi.
Haqiqatan ham, har bir o‘lchash natijalarini tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu tasodifiy miqdorlarga Chebishev teore-masini qo‘llamoqchi bo‘lsak, quyidagilar bajarilishi kerak:

1. ular juft-juft erkli;

   
   

2. bir xil matematik kutilishga ega;

   
   

3. dispersiyalari tekis chegaralangan.

   
   

Agar har bir o‘lchash natijasi qolganlariga bog‘liq bo‘lmasa, 1-shart bajariladi.

Agar o‘lchashlar statistik (bir xil ishorali) xatolarsiz bajarilsa, ikkinchi talab bajariladi. Bu holda hamma tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari bir xil bo‘lib, u haqiqiy o‘lchamga teng bo‘ladi.
Agar o‘lchash asbobi tayin aniqlikni ta’minlay olsa, 3-talab ham bajariladi. Bunda ayrim o‘lchashlarning natijalari har xil bo‘lsada, ularning tarqoqligi chegaralangan bo‘ladi.
Agar yuqorida ko‘rsatilgan hamma talablar bajarilgan bo‘lsa, u holda o‘lchash natijalariga Chebishev teoremasini qo‘llashga haqlimiz. Bunda yetarlicha ko‘p sonda o‘lchashlar o‘tkazilsa, u holda ularning arifmetik o‘rtacha qiymati o‘lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymatidan istalgancha kam farq qiladi.

Statistikada qo‘llanadigan tanlanma usul Chebishev teoremasiga asoslangan, bu usulning mohiyati shundan iboratki, unda uncha katta bo‘lmagan tasodifiy tanlanmaga asoslanib, barcha tekshirilayotgan obyektlar to‘plami to‘g‘risida mulohaza qilinadi.