U dalaboyev vektor va tenzor

rota 
= 
0. 
Unda Stoks teoremasiga ko‘ra
<£(a,dr) = JJ(rota,dd) =0
r 
«
Ikkinchi tomondan 
§(a,dr) =(a,dr) + (a,dr) =
 
r 
C
r
= §(a,dr)-
),
C
t*
va shuning uchun 
(a,dr)
c 
c
boMadi.
6) 
a
maydon potensialli boMib 
U
uning potensiali boMsa 
(adr) = dU
boMa-
j
(a,dr)= 
j
dU = U (B)-U (A).
\
j
A B
kj
A B
3) 
va 6) xossalar potensial kuch maydonida kuch maydonining 
bajargan ishi yoy shakliga bogMiq boMmasligini va bu ish yoyning oxiri 
va boshdagi potensiallar ayirmasiga teng boMishligini bildiradi.
Endi 
a
maydonning potensialini topish usullariga to‘xtalamiz.
Potensialni (a,dr) ifodadan aniqlash.
L+
di va (4.10) formuladan
67
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Potensialning 1) xossasidan foydalanamiz. 
(a,dr)
ifodani biror 
U
funksiyaning to‘liq differensiali ko'rinishda ifodalash imkoniyati boMsa, 
3
potensial maydon boMib, 
U
funksiya uning potensiali boMadi.
1 
-misol.
Quyidagi maydonlaming potensial maydonligini va uning 
potensialini toping.
1)5 = 2*/+ 
3y2j
+ 
4:2k, 2)a = {)c,x:, xy),
3)5= , 
\
* '+ > z+ r +1
\>
1) 
(a,dr) = Ixdx + 3y2dy + 4:}±
= 5(*2) + 5(>3) + 5(rJ) = 
d(x2
+ v3 + 
:*).
Shuning uchun 5 potensial maydon va 
U = x2 + y* + :*
funksiya 
uning potensialidir.
2) 
(3,dr)
= 
)-dx
+
x:dy+xydt
= 
d(xy~).
Shuning uchun 5 potensial 
maydon va 
U = xy:
fiinksiya uning potensialidir.
xdx + yd\’ + :dt l/2d(x2 + y 2
+ r 2 + 1)
3) 
(3,dr) = - 
2 
2
x
+ y + r +1 
= — 5 ( l n ( * 2 + v 2 
+ :2
+ 1 ) ) .
x1 + y s + : 2 
+1
Shuning uchun 5 potensial maydon va 
U
= 
i|n(*! +_v
2
+ 
r
2
+ 1)
funksiya uning potensialidir.^
Potensialni ta 'rifbo 'yicha topish.
3 = 
{ar,a ,,a :}
 
potensial maydon uchun U uning potensiali boMsa 
grad 
U = 3.
Bu koordinatalar ko'rinishda
U’x =ax, U'y 
= af , U'. = ax, 
(5.1)
(5.1) ni birinchisini * bo'yicha integrallaymiz. Integrallash 
jarayonida 
x
ga bogMiq boMmagan konstanta ishtirok etadi (bu konstanta 
y
va 
z
ga bogMiq boMadi).
U = ja x(x,y,:)dx + c(y,:).
c(y,z)
funksiyani topish uchun bu ifodani (5.1) tenglikning ikkinchi 
va uchinchi tengliklarga qo‘yamiz.
2- 
misol.
5= ^—+ * j/ 
+ ^— +1 
maydonning potensialligini
tekshiring va potensialini toping.
t> Maydon potensialligini tekshirish uchun maydonning rotorini 
topamiz.
68
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

rot5 =
i
j
k
8_
8_
8
8x
dy
8z
—+x
-xz
0
^ + l