2 y l - z j
+
2xk
dan quyidagi sistemaga kelamiz.
&
ct
ax
Sy
v
7
(5.5)
ning birinchi va ikkinchi tengliklarini
z
bo'yicha integral-
laymiz.
b7
= - J
2 y ±
= - 2 jc + v**, y),
_2
A i = J - r < f c = - y
+ t ( r ( x ,y ) .
Bulami (5.5) ning uchunchi tenglamasiga qo‘yamiz
i t - i t r * v ’^ y ) - ^ x , y )
=
2x.
ox
cy
Bu tenglikni qanoatlantiruvchi
y/(x,y) = Qy
ko'rinishda
olsa bo'ladi. Unda vektor potensial
b
=
{6„^,0}
=
| - y , - 2
yz
+
x1
fi
ko‘rinishda bo'ladi.
4
5.3. G arm onik maydon
Garmonik skalyar maydon.
A g a r/ skalyar maydon
div(grad/ ) = 0
Laplas tenglamasini qanoatlantirsa bunday maydon
garm onik
maydon
deyiladi.
Laplas tenglamasining o‘ng tomonidagi ifodaga Laplas operatori
deyiladi va A
f
ko‘rinishda belgilanadi.
Dekart koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasi
A f = / ; + / ; + / » = o ,
ko'rinishda bo'ladi.
Misol. f(r ) = j
funksiyaning
R}
da,
f( r ) = \nr
funksiyaning
da
garmonik boMishini ko'rsating.
72
www.ziyouz.com kutubxonasi
O
l)Gradientxossasigako‘ra grad- = ^ i j
Divergensiya xossasiga ko‘ra
div^gradij = d i v ^ r
j =
- ^ d i v r
+
^ .g ra d -j
j j.
.
1
r
r
grad/- = —
j — =
—
j.
r r
r
r={x,y,:}
uchun
R3
da divr = 3 ekanligini va grad-i = - i - dan
r
r r
bo‘ladi.
2) y?j da
f(r) = \nr
maydon uchun
grad ln
r
= (ln
r)'
grad
r =
r = {x,y},
divr = 2, ■
div(grad In
r) =
d i v ^ r j = ^jdivr + ^r
, g r a d \
j = -i- + ^r , ^ - j =
0
."
Garmonik vektor maydon
Agar
a
vektor maydon bir vaqtda ham potensial ham solenoidal
bo'lsa bunday maydonlarga
garmonik
vektor maydonlar deyiladi.
Garmonik vektor maydonning xossalari.
1)
garmonik vektor maydon skalyar va vektor potensialga ega
boMadi.
2) u skalyar potensial garmonik funksiya boMadi.
3 )
garmonik vektor
a = {aItay,az}
maydon uchun uning komponen-
talari
ax,ay,a.
garmonik funksiyalar boMadi.
Bu xossalami tekshiramiz.
1) birinchi xossa ta'rifdan kelib chiqadi. Chunki potensial maydon
skalyar potensialga ega boMadi, solenoidal maydon esa vektor
potensialga ega boMadi.
2)
garmonik
5
maydon potensial maydon boMgani uchun skalyar
U
potensial mavjud va a = gradt/ ko‘rinishda boMadi. Ikkinchi tomondan
garmonik maydon solenoidal boMadi, shuning uchun
divfl = div(gradCZ) = 0
boMadi. Shuning uchun garmonik
a
maydonning potensiali
U
Laplas
tenglamasini qanoatlantiradi va garmonik funksiya boMadi.
73
www.ziyouz.com kutubxonasi
3)
garmonik
a
=
Dostları ilə paylaş: |