/, integralda (4.4) Grin formulasidan foydalanamiz ( bizning holda
«
v
(
jc
,
j
O = 0 )
ax{x,y,:{x,y)) = ax(x,y)
belgilash kiritaylik.
M(x,y,z(x,y))
nuqta
L
kontur bo'yicha harakatlanganda uning proeksiyasi
N(x,y)
nuqta
D„
sohaning / chegarasi bo‘ylab harakatlanadi. Demak,
Murakkab funksiyadan hosila
olish qoidasidan foydalanib
5x(x,y)
funksiyadan
y
bo‘yica hususiy hosila olamiz: —
ay
8y
oz cy
Unda,
(4.5)
tenglik o‘rinli bo'ladi. — hususiy hosilani S sirtga o‘tkazilgan ort orqali
8y
ifodalash mumkin:
* = - £ 2 ! £ .
(4.6)
8y
cosy
Haqiqatan ham,
S
sirt tenglamasi
F(x,y,z)
=
0 oshkormas funksiya
orqali
berilgan
bo'lsa,
uning
normali
ortining koordinatalari
w°(A/) = <
i={cosar,cos/?,cosy}
bo‘ladi.
U
holda
m
N H J
A
p
fi
— = —
>L=~SSltL
o‘rinli boMadi. Bundan tashqari,
dxd\> =
cos
yds
8y
F*x
cos
y
55
www.ziyouz.com kutubxonasi
bo'ladi. (4.6) ifodani (4.5) ga qo‘yamiz. Natijada (4.5)
ikki karrali
integralni 1- tur sirt integrali aylantirish mumkin:
rt(8a, 8 a 8:\
[ [ ( 3a, dayCosfi^
r r f d a .
3ax
^ j
Shunday qilib, quyidagi formulaga keldik:
/, =
(4.7)
Agar
S
sirt
Ox
o‘qiga perpendikulyar boMgan tekislikda yotsa
S
sirt-
da
dx
= 0,cos/3 = cosy = 0
boMadi va (4.7) formula avtomatik ravishda
bajariladi.
Xuddi shu yo‘1 bilan
/2 = ^ a v(A/)
(4.8)
( Bu
yerda Grin formulasini
Oxz
tekisligiga proeksiyalanganidan
foydalanildi).
/3 = < Ja.(A /)d t= JJ^^co sa-^I-cos/?jd!s.
(4.9)
formulalarga kelamiz.
(4.7), (4.8) va (4.9) formulalami qo‘shib, chiziqli va sirt integral-
larning chiziqlilik xossasidan foydalanib (4.3) formulaga kelamiz:
j>a,(x, y,:)dx + ay(x, y,:)dy + a .(x,y ,:)± =
[r\(8a
da )
f 8a
8a. )
„
* #
- * r a \ - s t - £
J c“ /,+
oax
8y
cos y ds
Teorema isbot boMdi.
Stoks formulasini vektor ko‘rinishda quyidagicha yozish mumkin:
j(a,d?) =
JJ(rota,«)d!s
/.
s
Orientirlangan
S
sirt bo‘yicha vektor maydon uyurmasining oqimi
vektor
maydonning
S
sirtga tortilgan
L
kontur bo‘yicha sirkulyatsiya-
siga teng
(L
kontur orientatsiyasi
S
sirt orintatsiyasiga qarab olinadi).
1
-misol. a = (20x* + \): I - 5 y j + 4x* k
maydonning
y =
4 tekisli-
gida
joylashgan
x2 + : 2=9
aylana bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping
(yo‘nalish
Oy
o‘qi oxiridan qaraganda soat meli yo‘nalishiga qarshi
orientirlangan) (4.8 — rasm).
D>
Sirkulyatsiyani bevosita yechish ancha murakkab.
Stoks formu-
lasidan foydalanib yechamiz. Buning uchun maydon rotorini hisoblaymiz
56
www.ziyouz.com kutubxonasi