U dalaboyev vektor va tenzor

 
Qx(x,y), ar(x,y)
 
funksiyalarda v ni y(jr) bilan almashtirish,
>
 
dy
 
ni 
y'(x)dx
 
bilan almashtirish,
48
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

>
hosil bo'lgan aniq integralni 
[a,b]
oraliqda hisoblash.
Agar vektor maydon 
a = f{r)r
ko‘rinishda bo‘lsa, 
r 2 = r2
tenglikdan 
uni differensiallasak 
2rdr = 2rdr
kelib chiqadi. Demak, bunday 
maydonlar uchun chiziqli integral
rc
J 
(
a,dr)=
J 
f(r)(r,dr) = jf(r)rdr
vBC 
yjBC
r,
aniq integralga keltiriladi.
4.2- rasm
kuchning bajargan ishi
1- 
misol. 
F = (x + y)i - ( x - y ) j  
x2
■
- vJ
kuchning 
— + 2— = i
ellips yuqori 
a 
b
boMagi bo‘y!ab 
A(a,0)
nuqtadan 
B(-a,0)
nuqtaga siljigandagi ba- 
jargan ishini hisoblang (4.2 -
rasm).
F = axi
+ 
ayj + axk
J 
(
F,dr
) = 
J 
axdx + aydy> + ax
AB 
AB
chiziqli integral orqali ifodalanadi. Bizda 
ax = x+y, ay = - ( x - y ) , a. =
0.
Ellipsning parametrik tenglamasidan foydalanamiz: x=acosf, y=6cosf, 
z=0. 
t
parametming 
A va B
nuqtaga mos kelgan qiymatlarini topamiz. 
A
nuqtada x=a=acosf/, cosf/=7, 
t/=0; B
nuqtada x= 
-a=acost
2
=-l, tf=n.
U holda,
x
J 
(F,dr}=
J 
axdx+aydy =
J[(acosf + icosf)(-asin/)-
AB 
AB
0
-(acosr -6sinf)icosr]rff = J(-a2 cosf sinf 
-
a^sin2
1-ab cos11 +
+b2 s'mtcost)dt
}(b2- a 1 .
,
i
—
s,n2' -
ab dt = -nab. M
2-misol. F = {x2, - y z , :}
kuchning fl(l,2,-l) nuqtadan C(3,3,2) 
nuqtaga siljishdagi ishini toping. 
t> 
F
kuchning bajargan ishi
A =
J 
Fdr =
J 
x2dx - yzdy> + :dz
BC 
BC
49
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

formuladan topiladi. Bu integralni hisoblash uchun 
BC
to‘g‘ri chiziq 
tenglamasini tuzamiz:
s - l _ y - 2 r + l =
3-1 ~ 3 -2 ~ 2 + 1 
*’
Buyerdan 
x = 2t + \, y = t + 2,
-~ 3 f-l; 
dx = 2dt, dy = dt, d: = 3dt.
B
nuqtaga mos kelgan parametr 
t
ning qiymatini topamiz: 
tg =
0. 
Xuddi shuningdek, 
tc =
1. Integralda 
x, y , :, dx, dy, 
laming ifodalarini 
qo‘yamiz
I
A = j x2dx - yzdy + :d= =
J[(2f + 1)J • 2 -
(t
+ 2)(3
1 -
1) + (3/ -1) • 3]dr = 26/3. ◄
BC
0
3- 
misol. a = yi + 2xj
maydonning 
OABO
chiziq bo‘yicha sirkulyat- 
siyasini toping. 
OB y
2 = * parabola yoyi, 
OAB
siniq chiziq (4.3 - rasm). 
t> Sirkulyatsiyani
C= j> (a,dr)= j{a,dr)+
J(a,4 r)+
j{d,dr)
OABO 
OA 
AB 
BO
formuladan aniqlaymiz. 
OA
kesmada 
y = 0,dy = 0.
Shuning uchun,
/, = J (
a,dr
) = J 
ydx
+ 2
xdy> = 0.
OA 
OA
AB
kesmada x = l,<& = 0, 0Shuning uchun
l
/ 2 = J 
ydx +
2 
xdty =j 2 dy = 2.
AB 
0
BO
yoyda 
x = y 1, dx
= 2
ydy, yB =
1, 
y0 =
0. Shuning uchun
0 
0 
-
/3 = J yd!r + 2xj ^ y 2dy =
— .
BO 
i
i 
^
Shunday qilib, C = /l + /2 + /3 = 0 + 2 - -^ =
4- 
misol. a =
| —
-a, 
2- | maydonning markazi koordinata
boshida joylashgan radiusi 
R
ga teng bo‘lgan soat meli yo‘nalishiga 
qarshi yo‘nalish bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping (4.4 - rasm).
!> Sirkulyatsiyani
C = j d d r = j
—
1 dx+ 2X 2dy,
t. 
t x + y 
x
+ 
y
formuladan aniqlaymiz.
50
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Bu integralni hisoblash uchun aylananing parametrik tenglamasini 
yozamiz: 
x=Rcost,y = Rsint.
Bundan 
dx=-Rsintdt, dy = Rcostdt;
0 £ t£ 2 z .
Shuning uchun
g  2r -/?sinr •(-/?sinr) + /?cos/-/?cosr
] 
R2 cos21 + R2 sin21
5-ntisol. 
F = 
(y 2
- : 2y i + (z2- x 2) ] + (x2- y 2yic
kuchning
x2 
+ 
y 2 
+ : 2 = \
sferaning koordinata tekisliklari bilan (x>0, y > 0 ,r£ 0 ) 
kesishishidan hosil bo'lgan chiziq bo‘yicha bajargan ishini toping 
(kontumi aylanib o‘tish musbat yo'nalishda) (4.5 - rasm).
[> Maydonning bajargan ishini
A = \{F ,dr) = \{ y 2- : 2)dx+(:2- x 2)dy + (x2- y 2)
L 
L
2*
d t= \d t = 2x.<
0
4.5 - rasm
formuladan aniqlaymiz. 
L
kontur markazi koordinata boshida radiusi 
birga teng bo‘lgan jt = 0,y = 0, r = 0 koordinata tekisliklarida joylashgan 
aylanayoylaridan iborat. Demak,
£ 
AB 
BC 
CA
bo‘ladsi.
AB
yoy tenglamasi r = 0, x = cosf, y = sinf, 
te[0,nl2\,
bo‘lgani uchun 
<& 
= -sinfdf, 
dy = costdt, 
<£r 
= 
0;
jr/2
(F,dF) = y2dx-jr24/ = (-sin3f-cos3f)\(F ,d r)=  
J 
(sin3f 
+ cos3t)dt.
AB
0
Xuddi shuningdek, 
BC
yoy uchun: x = 0, 
y 
= cost,
r = sinf, fe[0,/r/2], 
dx = 0, d}> = -sintdt,
51
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Kt 
1
(F,dr}= z2dy- y2dt =
(-sin3
1
-
cos3
t)dt\
J ^ F , ^ ) ^ - J (sin3< 
+ cos*t)dt.
BC
0
CA
yoy uchun:
y -
0, jr = cosr, c = sinf, fe[0,;r/2], 
dy =
0, 
dx = -sintdt, ± = costdt
0
(F,dF) = r
2
f& + jc2f t = (sin
3
f+ cos
3
f)rff; J(F,dF) = -
J (sin3/ + cos3/)<*.
CA
jt
/2
Shunday qilib,
jr/2 
» /2
* /2
J(F,dr) = -3 
J
(sin3f + cos3f)<* = 3 
J
(l-cos2f)rf(cos/)-3 
J
(l-sin 2f)L 
0
0 
0
*n
-3 
J
(l-sin 2/)f/(sin/) 
=
(3cos/-cos3/-3 sin / 
+
sin3/)|B 
= - 4 . ^
4.4. Vektor maydon uyurmasi
a = a(P) = {aI,ay,at }
vektor funksiya o‘zlarining birinchi tartibli 
xususiy hosilalari bilan birga 
G
sohada uzluksiz boMsin.
Quyidagi vektor yordamida
r(dat fa y'
dy 
dz
rota = 
i
~.(8a.
“ ■'1&
- £ )
+ k &
dx
&!*
dy
aniqlanadigan vektorga 
2
vektor maydonning uyurmasi deyiladi. 
Bu ifodani simvolik
rotff =
' 
J  
d_ d_
dx 8y
k
8_
dz
ko‘rinishda yozish qulaylik tug'diradi. Bu determinantni birinchi satr 
bo‘yicha 
(T ,j,k
bazis vektorlar bo'yicha) yoyish va xususiy hosilalami 
vektor komponentalariga ko‘paytmasini differensiallash deb qarash
kerak, ya'ni 
— ax = ^ - ,
va h.k.
1 
dz x
&
Agar maydonning biror nuqtasida 
rota =
0 bo‘lsa maydon bu 
nuqtada uyurmasiz deyiladi.
1 - m
isol. a = (x+z)7 + (y+ z)j + (x2 + z)k
vektor maydonning 
uyurmasini toping.
52
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

j (  A (.x2 + r) - ^ ( x + r)] + * f U y  + --) - |- ( * + r)l -
v,car 
cr 
) 
\cx 
dy 
)
= -1 - ] ( 2 x - \) + Q k= {-\,\-2 x,0 }.<
' 
Uyurma vektorining xossalari.
1. rot(A<5 
+ /jb) = A-
rota + //• rotA, >1,// o'zgarmas sonlar.
2. rot(« a) = [grad«,a] + tt rot5,buyerda u=tt(x,y,:) skalyarmaydon.
Birinchi xossa uyurma ta'rifidan bevosita kelib chiqadi. Ikinchi 
xossaning isbotini keltiramiz.
> rot<5 = -r- 
- ^ - = 7 ^ - ( x 2+ : ) - - ^ ( y + :)
j -
rot(Ho) =
/ 
j
k
e_ e_ 
e_
8x 
8y
 
&
uax uay it a.
= t
+k
, i < “ ' ) - | < ," < ) ) - jt l ,“ - ) - l (" - ) ) t
r (
8
 
8
& )
du 
du
'l 
du 
du 
\
—a .----
a..
+ / —
a ,
-----
a,
+fc
dy
1 
8z >)
1 
8z x)
zr a ,r -
a
I = 
u ■
 rota +
[gradu,a]. 
(e i ' 
dy 
1
2 - misol.
rot
(ra)
hisoblang 
(a
o‘zgarmas vektor, 
r
radius vektor 
uzunligi).
> rot(/-<5) = [grad/-, 
a\ + r-
rota = [gradr, 
5] =
r
_ 
~ ,a
r
= -[r.<5].^
r
4.5. Grin va Stoks formulalari
L
kontur bilan chegaralangan orientirlangan 
S
sirtni qaraylik. 
S
sirtni o‘z ichiga olgan fazoda 
a 
= 
a(P) 
= 
{ax,ay,a,}
uzliksiz differensial- 
lanuvchi 
vektor maydon berilgan bolsin. 
S
sirt koordinata 
tekisliklarining birortasiga bir qiymatli proeksiyalash imkoniyati bo‘lsin.
53
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

masalan, 
Oxy
tekisligiga unda sirt tenglamasi - = 
z(x,y)
bo'lsin. U holda 
quyidagi formula o‘rinli:
§
ax (x, y, :)dx + ay (x, y, :)dy + a,(x,y,:)tk =
Bu yerda cosar, cos/7, cosy lar - sirt normal vektorining yo‘nal- 
tiruvchi kosinuslari, 
l
- 
esa sirt chegarasi. Bu formula Stoks formulasi 
deyiladi. Stoks formulasida 5 sirt 
l
 
konturga tortilgan va S sirtga 
o‘tkazilgan normal uchidan qaralganda 
L
kontumi aylanib chiqish soat 
mili yo‘nalishiga qarshi bo‘lishi kerak (4.6 - rasm). Keltirilgan 
formulani isbotlashda Grin formulasidan foydalanamiz. Grin formulasini 
esga olaylik. 
D„ 
yopiq tekis sohada 
a = {ax(x,y),av(x,y)}
uzliksiz 
differensiallanuvchi funksiyalar boMsin. U holda
j a x(x,y)dx + ay( x , y ) d y = \ \ ^ ^ - ? ^ d x d y
(4.4)
Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda 
L D„ 
soha chegarasi;
kontumi aylanib chiqish musbat yo'nalishda amalga oshiriladi.
Izoh. Stoks formulasi Grin formulasini umumlashtirganligini 
ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan ham, (4.3) formulada 
S
sirt tekis sohadan 
iborat boMsa, birinchi va ikkinchi qavslar aynan nolga teng boMadi.
dd
a.
s 0 boMgani uchun —- = 0, va 
av :
ga bogMiq boMmagani uchun
8y
Qci 
cq
—^ = 0. 
a, :
ga bogMiq emas, —*- = () va —L = 0. Uchinchi yigMndida
& 
& 
cx
cosy = 1 boMadi.
Endi Stoks formulasining isbotiga kelaylik.
L 
kontur bilan chegaralangan 5 sirt 
D„ 
sohaga 
f  
kontur bo‘yicha 
proeksiyalanadi (4.7 - rasm).
/, 
=j>ax(M)dx
egri chiziqli integralni ko‘raylik.