1.3. Yo‘nalish bo‘yicha hosila
Uch o'lchovli fazoning biror
G
qismida
u = u(x.y,:) = u(P)
skalyar
maydon berilgan boMsin. Maydonda
joylashgan biror
F\(x,v,:)
nuqtani
olamiz va bu nuqtadan chiqadigan
!: = {(,,,(y, t ,}
vektorni qaraymiz.
!
yo‘nalishda
skalyar
maydonning
o‘zgarishini
aniqlaymiz.
Buning
uchun
!
yo‘nalishda ikkinchi
P2
O + A
a
-, y + Ay, r + Ar)
nuqtani
olamiz.
1\P2
vektor uzunligini Af
bilan
belgilayntiz
(1.5-
rasni):
A
C =
1
1\P
21 =
\J
ax
2
+ Ay2 +Ar2. Maydon funksiyasining ortirmasi
A
u
=
u(P2) - u(Px)
=
m
(.
x
+ Ax,y + Ay,r + Ar) -
u(x,y,:)
=
j
.
.
.
5// A
3u A
3u
.
n . .
=
du
+ f,Ax +
en&y
+
s
2A:
= — Av + — Av + — Ar +
0(M).
cx
3y '
8:
Bu yerda 0(Af) Af ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor,
va Ar,Ay,Ar -+ 0 da
£x,£2,s y ^
0 boMadi.
~ ^ ~ Vo
miqdor
u(P)
skalyar
funksiyaning
1
vektor yo‘nalishidagi o‘rtacha o‘zgarish tezligini beradi.
Ai/
8u
Ar
cu
Ar
Ar
Av
A
- = ------ + +-------
+ £.
--- + £, — + f , --- .
Af
cxM
8: Af
A(
A(
Af
Bu tenglikda limitga o‘tamiz: Af -»0,
(P2-*P{):
A
u du
3u
„ 3u
lim — = — cosa + — cosp+— cosy.
m
-*
o
AC 8
x
ci'
c:
Bu yerda cosa, cos/3, cosy lar
1]P2
vektorning vo‘naltiruvchi
kosinuslari.
P^P2
va
!
vektor parallel boMganligi uchun ularning
yo‘naltiruvchi kosinuslari mos tushadi. f =
t j
+ f
J
+
t,k
boMgani uchun
cosa = - |,c o s /? = -^ .c o sy = -j|.
boMadi.
11
www.ziyouz.com kutubxonasi
Ta'rif. Agar
mavjud b o ‘lsa, bu limitga u{x,y,s) skalyar
maydonning Px{x,y,z) nuqtadagi
1 vektor yo'nalishidagi hosilasi
deyiladi va u
du
A u cu
— = lim — = —
dt Ai-to At 3x
3u
„ 3u
cosor + — cos
p +
—
3y
8z
cos
y,
formuladan topiladi.
Yo‘nalish bo‘yicha hosilaning xossalari:
l)t/(P) funksiyaning P
nuqtadagi 1
vektor yo‘nalishi bo‘yicha
o'zgarish tezligi ~ ^ p - ga teng.
2)
u{P)
maydon
P
nuqtada C
yo'nalish bo'yicha o'sishi uchun
31
3)
u(P)
maydon
8u(P)
8C
-50.
P
nuqtada
£
yo'nalish bo'yicha kamayishi uchun
Haqiqatan ham, 1) A
u(Px)
miqdor
u(P)
funksiyaning
P{P2
kesmadagi
o'zgarishidir. — miqdor
u(P)
skalyar funksiyaning
1
vektor
A C
^
*
yo‘nalishidagi o‘rtacha o'zgarish tezligini aniqlaydi.
= lim
esa,
u(P)
skalyar funksiyaning
C
vektor yo'nalishidagi o‘zgarish tezligini
beradi.
2)
1
yo'nalishda
u(P)
o'suvchi »
3) bu xossa ham 2) xossa kabi tekshiriladi.
Agar
1
yo‘nalish koordinatalar o‘qining yo‘nalishlaridan biri bilan
bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy
hosilaga teng, shuning uchun, masalan,
£
Ox
o ‘qi bilan mos tushsa
cosar = 1, cos/? = 0, cosy = 0 va — = — boMadi.
8C 8x
12
www.ziyouz.com kutubxonasi
Yo‘nalish bo'yicha hosila tushunchasini biror egri chiziq yo'nalishi
bo'yicha umumlashtirish ham mumkin. Bu holda yo‘naltiruvchi kosi-
nuslar sifatida egri chiziqqa urinma vektori yo'nalishining yo‘naltiruvchi
kosinuslari olinadi.
1-
misol.
u = xyz funksiyaning
M{-
1
,
2
,4) nuqtada, shu nuqtadan
a
/, (-3,4,5) nuqtaga tomon yo'nalishdagi hosilasini toping.
[>
MMX
vektomi topamiz.
MMX
= (-3 + 1)/
+
(4 - 2)7
+
(5
-
4
)k = -2 1
+2
] + k
va unga mos birlik
vektomi topamiz:
-
MMt
-2i + 2 j + k
tifM] y ji- lf +2r +
1J
2-
- 1
+
3
Shunday qilib,
C0
vektor quyidagi yo‘naltiruvchi kosinuslarga ega
2
n
2
1
cosa = — . cos p = —, cos r = —
3
3
3
Endi
u = xyz
funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
8u
8u
ou
— = v r,—
= xz,
—
= xy
8x
8y
8=
va ulami A/(-l,2,4) nuqtada hisoblaymiz
^ = 8. L 2 ] _ 4 . 2 _ 2 . I = 1 (_8_ 4_ 1) = _26
8C
v 3 /
3
3 3 v
3
«-» ishora berilgan yo‘nalishda
u
= xyz
funksiyaning kamayishini
ko'rsatadi.-^
2-misol. u = x:2 + 2yz funksiyaning M0(l,0,2) nuqtadagi
jc
= 1 +
c o s
<
y = s i n / - l ■
: = 2
aylana bo'ylab olingan yo‘nalish bo‘yicha
hosilasini toping.
D> Aylananing vektor tenglamasi
ko‘rinishi
r(t) = xi + y j + :k
= (l + cos/)i + (sin f-l)y '
+ 2k
Ixtiyoriy
M
nuqtadagi f umnma vektorini
topamiz (1.6- rasm)
- dF
.
-
r = — =-sinf i +cosf• j
dt
J
berilgan
Mo(l,0,2)
nuqta
xOz
tekisligida birinchi oktantada
joylashganligi uchun
t=n/2.
Bu nuqtada f ning qiymati
13
www.ziyouz.com kutubxonasi
n
?
n
~
r
=-sin —•/ +cos— / = -/
I.W
o
2
2
Bundan
ko‘rinib
turibdiki
yo‘naltiruvchi
kosinuslar
cosor = - l , cos/? = 0, cosy=0
ga teng. Berilgan
M({ \fi,2 )
nuqtada
xususiy hosilalami topamiz
du
cx
du
dz
.21
_ 4
Su
iM
o
’
fiy
=
2
- ' L = 4 >
= f2jr- + 2
v )L = 4
Demak
c«
8u
8t
= 4-(-l) + 4 0 + 4-0 = -4 ◄
3-
misol.
Ushbu
u = Jx* +
y2 ska-
lyar maydonning M,(l,l)nuqtadagi y = jr2
egri chiziq bo‘yicha ;W,(l,l) nuqtadan A/2(2,4) nuqtaga yo‘nalgan
hosilasini toping (1 .7 - rasm).
t
>y
=
x'
parabolaga o'tkazilgan birlik urinma f° vektomi topamiz.
Urinmaning burchak koeffitsiyentini topamiz.
v’ = 2
jt
,
k = 2x\^=2.
Urinma to‘g‘ri chiziq A/,(l,l) nuqtadan o ‘tadi va uning burchak
koeffitsiyenti
k=2
ga teng. Demak,
v-1 =2(
jc
- 1). Bu to‘g‘i chiziq
x —\
v —
1
tenglamasini kanonik ko‘rinishda yozamiz:
f(i,2) vektor
urinmaning yo‘naltiruvchi vektoridir va uning yo‘nalishi A/,(l,l) nuq-
tadan A/,(2,4) nuqtaga qarab yo‘nalgandir. U holda f" = -^=+-JLj birlik
vektorboMadi. Demak, yo‘naltiruvchi kosinuslar cos
a = -j=, cos/3 =
Endi xususiy hosilalami topamiz
— = ■,
x
™-, — = , + . .
&
4 7 7 7 &
V r + y
Demak, yo‘nalish bo‘yicha hosila
OM _
Jt
1 ^
2 _ 3VI0
ko‘rinishda bo‘ladi. ◄
14
www.ziyouz.com kutubxonasi
1.4. Skalyar maydon gradienti
u = u(x,y,z)
skalyar tnaydon berilgan boMsin.
Ta'rif. Skalyar maydonning beril-
’ t
gan M nuqtadagi gradienti deb,
gradw
I
y
simvol orqali belgilanadigan va quyi-
dagi tenglikdan aniqlanadigan vektorga
aytiladi.
,
du- du - 8 u
.-
/I i\
gradu = — t +— j + — k .
(1.1)
cx
cy
cz
Sath sirtda
M
nuqtadan o‘tuvchi
ixtiyoriy biror
L
chiziq joylashgan bo'lib
uning
parametrik
tenglamasi
r(t) = x(tji
+
y(t)j
+
z(t)k
ko‘rinishda
bo'lsin. Radius vektor differensiali
dr(t) = ?(t
+
dt)-r(t) L
chiziq bo'ylab cheksiz kichik siljishni aniqlaydi.
Sathsirtda
du =
0 boMganligidan
8u ,
du ,
8u ,
.
.
.
— dx
+
— dy
+
— dz =
(grad«,dr) = 0.
cx
8y
8z
Bundan grad« 1
dF
kelib chiqadi.
L
chiziqning ixtiyoriyligidan
M
nuqta-
dagi gradient sath sirtga ortogonal ekanligi kelib chiqadi (1.8 - rasm).
Yo‘nalish bo‘yicha hosila bilan gradient orasidagi bogManish.
Yo‘nalish bo‘yicha hosilani gradt/ orqali quyidagicha yozishimiz mumkin
=
( grad
u,
?') = jgrad «| cos
(
1
.
2
)
bunda f" vektor f yo'nalishidagi birlik vektor boMib u quytdagiga teng
f
-
f" =7^77 = / coscr +
j cosp + k
cos
y
I
(\
gradu va f° vektor orasidagi burchak (1.9 - rasm). Dernak, biror nuq-
tada olingan yo‘natish bo‘yicha hosila gradientning shu yo‘nalishdagi
proyeksiyasiga teng ekan.
Agar grad« = 0 boMsa ^ - = 0 boMadi. Agar grad«#0 boMsa. gradient
yo‘nalishi bilan mos kelmagan barcha vektorlar uchun
^<\gradu\
ekanligi kelib chiqadi.
15
www.ziyouz.com kutubxonasi
M (xa,
;-0,r0) nuqtadagi urinma tekislik tenglamasi gradu va
r - r 0 = (x-x„)7+ ( y - y n)]
+
( z - : n)ic
vektorlaming perpendikulyarligidan
kelib chiqadi:
(gradu,F-Fo) = 0,
yoki
,
. 8
u
du
( x - x n) + —
• ( y - ; '0) + —
r0
oy
y*
&
Gradientning xossalari:
1)
u(
A/)‘ skalyar maydon biror A/0 nuq-
tada eng tez o‘sadigan yo‘nalishi gradu(M0)
yo'nalishi bilan mos keladi va u |gradufA/0)|
ga teng.
2)
u(M)
skalyar maydon biror
M0
nuqtada eng tez kamayadigan
yo‘nalishi grad«(A/0) yo‘nalishiga teskari yo‘nalish bilan mos keladi va
bu kamayish tezligi |gradw(A/0)| ga teng.
3) grad«(A/0)
u(M )
maydonning A/0 nuqtasidan o'tadigan sath sirtga
o'tkazilgan normal bo'ylab yo‘nalgan.
Bu xossalami tekshiramiz.
1 . Agar cosp = l bo‘lsa, (1.2) formuladan
ning qiymati
8(
|grad«(A/0)| ga tengligi kelib chiqadi. Ya'ni grad«(A/0) va
1
vektor ora-
sidagi burchak nolga teng.
2. - H^ ° - ning eng kichik qiymatiga cosp = - l bo'lganda erishadi.
Ya’ni
boMadi va grad«(A/0) bilan
1
vektor parallel boMib qarama -
qarshi yo‘nalgan boMadi.
3. Biz yuqorida bu xossani isbot qildik.
1 - 3 xossalar gradientning invariantlik (koordinatalar sistemasiga
bogMiq boMmagan) ta'rifini beradi. Ya’ni koordinatalar sistemasining
qanday boMishidan qatiy nazar, gradient skalyar maydonning eng tez
o‘sadigan yo'nalishini vamiqdorini aniqlaydi: |gradw| = m a x ^ |jj.
Shuni aytib o‘tish kerakki gradient vektor funksiya boMib u faqat
skalyar funksiyadan olinadi.
16
www.ziyouz.com kutubxonasi
|