U dalaboyev vektor va tenzor

Gradientning diflerensial xossalari:
1) grad(u + v) = gradu + gradv,
2) grad(wv) = gradw • v + 
u ■
gradv,
t \
\> • gradu -
u ■
gradv
31 gradU
----------
t
—
■
4) grad/(
m
) = / u' • gradu,
5) gradr = —,
r
6) grad(a,r) = a, 
a = const.
Bu xossalarning to‘g‘riligini tekshiramiz.
grad(w + v) = {(
m
+ v)'r ,(w + 
v
)'
v
,(
h
+ v)'.} =
= 
} + K,v;,v;}= gradw + gradv
bo‘!ganligi uchur; 1) xossa o‘rinlidir. 2), 3) va 
4) xossalarning 
to‘g‘riligini tekshirish shu kabi amalga oshiriladi. 5) xossani tekshirish 
uchun 
r ={*,>%:■}, r = 
yjx1
+ 
y 2 + z2
, va 
shuning 
uchun
r ' = .
x
= - . Xuddi shuningdek, r ' = — ,r.' = - bo‘ladi. Shuning
' 
\Jx
7
+ y
- + : 2
 
r 
' 
r 
r
uchun
gradr = 
= i - , ^ , -
I r r r
r
r
boMadi. grad(a - 
r)
= grad^x + 
a2y
+ 
a3z)
= {a,,a2, 
a3\
tenglikdan 6) xossa 
kelib chiqadi.
1 
-misol. u=x-2y+3z
skalyar maydon gradientini toping. 
t> (1.1) formulaga asosan
grad 
m
= — / + — y + —
k
= 1 • / - 2 • y + 
3k 4
oa
' 
o:
2 -m iso l. u(r) = r
3 maydonning .4(1,2,2) nuqtadagi maksimal 
o‘sish qiymatini toping.
[>Maydon gradientini topamiz:
gradM(r) = gradr = 3r" giadr = 3r — = 3 rr.
/•
Maydonning /l nuqtadagi maksimal o‘sish qiymati 
|gradu(/)|^ = |3/f L, = 3/-^ = 3(.r2 +>'2+ i2)^ = 27
ga teng boMadi. 
4
17
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3
-misol.
Ellipsning optik xos- 
sasini isbot qiling: ellipsning biror 
fokusidan chiqqan nur ellipsdan 
qaytgandan so‘ng ellipsning ikkin- 
chi fokusidan o‘tadi.
O 
FX,F2 
nuqtalar ellipsning fo- 
luslari 
bo'lsin 
(1.10-rasm): 
^ = F\P, ?2 = F2P. 
u
(P) = rx+ r2 
skalyar 
maydonni 
ko'raylik. 
Ellipsning 
ta'rifiga ko‘ra 
u(P) = /, + r2 = const
boMganda P nuqta ellipsda yotadi. 
Ya'ni ellips 
u(P) 
skalyar maydon-
ning sath chizig'idir. Shuning uchun grad(r, + r,) = ^- + ^- 
P nuqtada
r \
'2
ellipsning normali bo'ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shu bilan birga bu
gradient —
vektorlardan tuzilgan parallelogrammning dioganali 
r\ h
bo‘ylab yo'nalgan boMadi. Bu vektorlar birlik vektorlar boMgani uchun 
parallelogram rombdan iborat boMadi va 
£ a x = £ a 2
boMadi. U holda 
Z /9, = Z/?2 
kelib chiqadi (bissektrissa urinmaga perpendikulyar). 
Zy, = Z/?,, Zy2 
= 
Z/J2 tengliklardan 
Zy, 
= Zy2 kelib chiqadi. Ya’ni 
Ft
fokusdan chiqqan nur ellipsdan qaytgandan so‘ng 
F2 
fokusdan o ‘tadi.4
1.5. Sirt normalining yo‘naltiruvchi kosinuslari
Tenglamasi F(jc,y,r) = 0 ko‘rinishda berilgan sirtni 
F = F(x,y,z)
skalyar maydonning sath sirti sifatida qarash mumkin. Bu maydonnig 
gradienti
8 F r 8F —
8 F r
gradF = — / + — y + —- * = «
cx 
8y
&
berilgan sirtning ixtiyoriy nuqtasida normal bo‘ylab yo‘nalgan 
boMadi. Shuning uchun sirtga o‘tkasilgan normalning yo‘naltiruvchi 
kosinuslari quyidagi ko'rinishda boMadi:
8F
cos 
a =
18
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

8F
cos/3 =