Tayanch iboralar:
Takrorlash uchun savollar
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi maydonlaming sath chiziqlarini toping.
a)
u =
v ~ x
; b)« = —
y
20
www.ziyouz.com kutubxonasi
2. Quyidagi maydonlaming berilgan nuqtalardan o‘tuvchi sath
chiziqlarini toping.
a)i
i = yjx2 + / + 2, M(3,5);
b) w =
4x2 - y \ M(2,-X).
.
3. Quyidagi maydonlarning sath sirtlarini toping.
a)
u = \
__1 > b)w = ln|r| c) w =
^ d) w = arcsinJ*
+ y-
(*,r)
1 1
(j,r)
V r 2
4. Quyidagi masalalarda
berilgan funksiya uchun
Af0(jro>J'o»-o)
nuqtadan A/,
nuqtaga yo‘nalgan hosilasini toping.
a)
u = x2y + xz2-2 ,
M0(l,l,—l), A/,(2,-l,3)
b)
w =
xey
+
yex — : 2, M0
(3,0,2), A/, (4,1,3)
w = orsin(jt + >), funksiyaning
A / ^ ; ^ j nuqtadagi f = (-l;0),
vektor yo‘nalishi 'bo‘yicha hosilasini toping.
2. Vektor maydon
•
Vektor maydon tushunchasL
•
Vektor chiziqlarL Vektor chiziqlarining differensial tenglamasL
2.1. Vektor maydon tushunchasi
Yaqqol ko‘zga tashlanadiga vektor maydonlardan biri suyiqlikning
tezliklar maydonidir. Fazoning biror
D
qismida suyuqlik harakat
qilayotgan bo‘sin. Ixtiyoriy
MeD
nuqtada
har xil vaqtlarda ham
suyuqlik tezligi bir xil
v(M)
boMsin. Bunday harakatga stasionar
harakatga ega deyiladi. Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil boMgani
bilan
D
ning boshqa-boshqa nuqtalarida tezliklar har xildir. Shunday
qilib,
D
da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi.
Agar uch oMchovli fazoda to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi
Oxyz
berilgan boMsa, vektor maydonni uch o‘zgaruvchili vektor
funksiya ko‘rinishda ifodalash mumkin. Haqiqatan ham, koordinatalar
yordamida nuqtani va u yordamida vektor maydonni aniqlash mumkin.
Oxy>z
koordinatalar sistemasida
7, ],
* vektorlar bazis vektorlar boMsin. U
holda
S(M)
vektor maydonni
a(M)
=
ax(x,y,z)J + ay (x, y, z )j + a. (x,y,z)k
21
www.ziyouz.com kutubxonasi
z
M(x,y,z)
ko‘rinishda ifodalash mumkin (2.1 -
rasm). Bu yerda
ax, ay, a2
lar
(x,y,z)
ning skalyar funksiyalaridir. Bu funk-
siyalaming
M(x,y,z)
nuqtadagi qiymat-
lari
5(M)
vektorning
7,
],
k
bazisdagi
koordinatalaridan iborat bo'ladi.
X
2.1 - rasm
ax, ay, a,
laming har birini skalyar
maydon
sifatida
qarash
mumkin.
Skalyar maydon kabi agar vektor may-
don vaqtga bogMiq bo'lmasa bunday
maydonlarga stasionar maydonlar deyiladi. Agar vektor maydon vaqtga
bog'liq boMsa nostasinar maydon deyiladi.
Agar biror to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi
Oxyz
tanlanganda
vektor maydon
z
ga
( x
yoki v) bogMiq boMmasa, bunday maydon yassi
maydon deyiladi. Bunday maydonlarda vektor
xOy
tekislikka parallel
boMadi, ya’ni bunday koordinatalar sistemasida
a,(x,y,:)mO
boMadi.
Misol.
Biror jism biror o‘q atrofida o'zgarmas
m
burchak tezlik
bo‘yicha aylanayotgan boMsin. Bu holda aylanayotgan jism nuqtalari
tezligi v(AO = [(5,/:] ga teng boMadi; <5- aylanish o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan
vektor, f - nuqtaning radius vektori. Shunday qilib, vektor maydon
vektor argumentli vektor funksiya orqali berilgandir v(r) = [5,f].
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki unda jismning
aylanish o‘qi
Oz
o‘qi bilan mos kelsin va ® va t vektor yo‘nalishlari
mos kelsin. U holda <5 = |®|& boMadi. Nuqtaning radius vektori
r
=
{x ,y ,z)
. U holda
boMadi. Demak, vektor maydon yassi maydon, chunki maydonning
uchinchi koordinatasi nolga teng va birinchi va ikkinchi koordinatalar
esa
z
ga bogMiq emas.
Silindrik koordinatalari sistemasida
Or
a(M)
vektor maydon be-
rilgan boMsin. Agar vektor maydon har bir nuqtada
ga bogMiq boM-
masa, o ‘qqa simmetrik maydon deyiladi. 0 ‘qqa simmetrik maydonda
S(M)
vektor
M
nuqta va
Oz
o'qidan o‘tadigan tekislikka parallel boMadi.
Agar berilgan
a(M)
vektor maydon o‘zining aniqlanish sohasining
ixtiyoriy nuqtasida uzunligi faqat
r=OM
masofaga
(O
koordinata
boshi) va yo'nalishi
O
va
M
nuqtalami tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq
bo‘ylab yo‘nalgan boMsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi.
Bunday maydonni
v(x,y)
=
[m,r
] =
\a\(x] - y i )
22
www.ziyouz.com kutubxonasi
a(M) = a(r)
=
f( r ) r
ko'rinishda ifodalash mumkin (r = |?| =
om
).
Misol.
Fazoda kuchni xarakterlovchi maydon kuch maydoni
deyiladi. Masalan, massasi
m0
ga teng boMgan material nuqtaning torti-
shish kuchi. Faraz qilaylik bu nuqta koordinatalar boshida joylashgan
boMsin. Nyuton qonuniga ko'ra massasi
m
ga teng
M
nuqtada joylashgan
radius vektori
r
boMgan material nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch
F(r) = - G ^ r
H
ga teng boMadi. Bu yerda
G -
gravitasion o‘zgarmas. Bunday kuch
maydonning markaziy maydonligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Nuqtaviy elektr zaryadlarining o‘zaro ta'siri natijasida hosil
boMadigan maydon ham markaziy maydon boMadi. Nuqtaviy zarjad
q0
koordinata boshida joylashgan boMsin. Kulon qonuniga ko‘ra radius
vektori ? ga teng bo'lgan
q
zarjadga ta’sir qiluvchi kuch
?<7o
=
F(r) =
4
to
0 |rf
ko‘rinishda boMadi. Bu yerda
s0
dielektrik konstanta.
7o>5> Dostları ilə paylaş: |