U dalaboyev vektor va tenzor

 
i
T»
(9-5)
Invariantlarni tenzoming xos sonlari orqali ifodalash mumkin:
+
/ 2 =
+ A
j
A
j
+
/3 = AfAjAj.
Bu invariantlardan foydalanib yangi invariantlami qurish mumkin:
- 2 / =T* +T2 +T2 +~>T T +27’ T +1T T = TT
‘ l
Z J 2
J l l
*
J 2 2
^
J 3 3 +
J 1 2 J 2 1 + Z J I 3 J 3 1 + Z J 2 3 J 3 2
J » J J f
Tayanch iboralar
Simmetrik tenzor, antisimmetrik tenzor, ikkinchi rang tenzoming 
xos soni, ikkinchi rang tenzoming xos vektori, xarakteristik sirt, tenzor 
invariantlari.
Takrorlash uchun savollar
1. Qanday tenzor simmetrik tenzor deyiladi?
2. Antisimmetrik tenzor qanday tenzor?
110
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3. Tenzoming xos soni qanday topiladi?
4. Qanday vektorga tenzoming xos vektori deb aytiladi?
5. Qanday sirtga tenzoming xarakteristik sirti deb aytiiadi?
6. Tenzoming invariantlari nima?
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Tenzomi simmetrik va antisimmetrik qismlarga ajrating.
2. 
^ ^2j tenzoming a) xos sonlarini toping, b) xos
vektorlarini toping, c) topilgan xos vektorlarining ortogonalligini 
tekshiring, d) bosh o'qlarga mos kelgan ortlami aniqlang, e) bosh 
o‘qlarga mos kelgan tenzoming burish matritsasini keltiring, f) bosh 
o‘qlardagi tenzomi toping, g) xarakteristik sirtni quring.
'3 -5 
3 
I
3. F =
tenzoming a) xos sonlarini toping, b) xos
6 ^
-3 
3 -2 y
vektorlarini toping, c) topilgan xos vektorlarining ortogonalligini 
tekshiring, d) bosh o‘qlarga mos kelgan ortlami aniqlang, e) bosh 
o‘qlarga mos kelgan tenzoming burish matritsasini keltiring, f) bosh 
o‘qlardagi tenzomi toping.
10. Levi-Chivita simvoli. Inversiya
•Levi-Chivita simvolL
• Vektor koordiitatalarining inversiyada almashishL
• Tenzor miqdorlarning inversida almashishL
10.1. Levi-Chivita simvoli
Quyidagi qonuniyat bo‘yicha o‘zgaradigan miqdorga Levi-Chivita 
simvoli deyiladi:
1, agar 
{i,j,k}
o‘rin almashtirishlarsoni juft bo‘lsa,
-1, agar 
{i,j,k}
o‘rin almashtirishlarsoni toq bo‘lsa, 
(10.1) 
0, indekslar ichida bir-biriga tenglari uchrasa.
Masalan, {1,3,2} ifodani {1,2,3} ko‘rinishga keltirish uchun 3 va 2 
ni o'rinlarini bir marta almashtirish kifoya, ya’ni toq shuning uchun 
f 132= - l 
bo‘ladi. 
f 231 
ning qiymati esa 
1 
ga teng, chunki
111
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

{2,3,1} =>{1,3,2} =>{l,2,3}, almashtirishlar soni 2 ga teng. Uch o‘lchovli 
fazoda Levi-Chivita simvolining 27 ta elementi bo‘lib, shulardan uchtasi 
1 ga teng:
£m
= 
e2ii
= 
en2 =
1
boshqa uchtasi
f 2 1 3 =
f l 3 2 =
e $2
1 =
1
-1 ga teng, qolgan barchasi nolga teng bo‘ladi.
Indekslami siklik almashtirilganda Levi-Chivita simvolining 
qiymati o‘zgarmaydi:
6 tjk ~ £ Jh ~ £ h j •
Levi-Chivita simvoli yordamida ko‘p amallami qisqacha yozish 
imkoniyati paydo bo'ladi. Masalan, o‘ng Dekart koordinatalar 
sistemasida bazis vektorlari uchun
[et ,e,] = £kiJ m
(10.2)
tenglikning to‘g‘riligini tekshirish qiyin emas. Xususan,
[e3’^2 ] = 
eyimem
= ^321^1 = 
~£l •
(10.2) ikki tomonini ort e, ga skalyar ko‘paytirsak
([®t->^/]>^i) = 
£Um (em-
) = 
ettm^m
= 
£Ui
Bundan Levi-Chivita simvolini uch oMchovli fazoda aralash 
ko‘paytma ko‘rinishda berilishi mumkinligi kelib chiqadi:
^ = ([e „ e ,],e t ). 
(10.3)
Levi-Chivita simvoli Kroneker belgisi orqali ham bo'gMangan
8 „
$ 2
<5,3
e l]t — 8 j i
* , 2
(10.4)
* t i
S f i
S t i
Misol. Quyidagi tenglik isbot qilinsin.
8 *
8 im
8 *
£
ij
t £ lmn ~ 8 ,
8 *
8 >
Stm
8 „
(10.5)
> 0 ‘ng tomondagi determinantning matritsasini 
A
bilan belgilaylik. 
Ya'ni 
e ^ e ^ - d e tA . etJk
= det 
B
va 
elm„
=detC belgilashlar kiritaylik. 
Matritsani matritsaga ko‘paytirish qoidasidan
( 8 „
^ 2
( 8 n
8 mi
8 ml)
( 8 ,
8,m
B - C T =
8 ,
8 „
8,2
8 m 2
8„ 2
=
8 ,
8jm
8 j .
k.
8 n
8 k i , \ 8 n
8 m
3
8 j
[ 8 u
8,tm
8 J
112
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ekanligi kelib chiqadi. Xaqiqatan ham, masalan, (fl-Cr )|( element 
uchun