U dalaboyev vektor va tenzor

Sp(/4') = .< = 
a ^ A f
= 
S^Afi
= 
Au
= 
Sp(4j) 
=>
 Sp(.<) = 
Sp(A0)
Tayanch iboralar
Tenzor, tenzorlami ko‘shish, tenzorlami ko‘paytirish, tenzorlami 
yig‘ishtirish, tenzor izi, tenzor rangi.
Takrorlash uchun savollar
1. Tenzor nima?
2. Tenzor rangi deb nimaga aytiladi?
3. Ikki tenzomi qachon qo‘shish mumkin?
4. Kroneker belgisi nima?
5. Tenzoming izi deb nimaga aytiladi?
Mustaqil ish topshiriqlari
1. Dekart koordinatalar sistemasida 
T„ =
( \
0
2
0 -2^ 
1 
0 
0 
1
tenzor berilgan.
Koordinatalar sistemasi 
Ox
o‘qini 30° ga burishda hosil boMgan yangi 
sistemadagi berilgan tenzoming koordinatalarini toping.
2. 
A,B,C 
vektorlar boMsa, 
ko‘paytmaning vektorligini
isbotlang.
103
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3. Vektor 
a,
va tenzor 
btJ
berilgan. 
a, b^
miqdorlaming uchinchi 
rang tenzorligini isbotlang.
4. 
Ikki 
o‘lchovli 
fazoda 
2^
va
A
= {1,2}; 
B
= {3;-1} 
vektorlar 
ikkinchi rang tenzorlar berilgan bo‘lsa, quyidagi
miqdorlaming oMchami va koordinatalarini aniqlang. 
a) 
cu
b) 
a,ctJ
c) 
b,dlt
d) 
b^d^
e) c / A f) c ,/(/
9. Simmetrik va antisimm etrik tenzorlar
• 
Sinunetrik va antisinunetrik tenzorlar.
• Tenzorning xos va xos vektorlari.
• Tenzorning xarakteristik sirti.
• Ikkinchi rang tenzorning invariantlari.
9.1. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar
Ikkinchi rang 
Tv
tenzorni qaraylik. Agar indekslar o‘mini almash-
tirganda koordinatalari o‘zgarmasa, bunday tenzorlarga simm etrik 
tenzorlar deyiladi. Indekslar o‘nini almashtirilganda tenzor koordina- 
talarining ishorasi teckariga almashsa, bunday tenzorga antisim m etrik 
tenzor deyiladi:
TtJ
= 
Tt,
=> 
Tv-
simmetrik tenzor,
Tv
= 
—T)t
=> 
Tt/-
antisimmetrik tenzor.
Yuqori 
tartibli 
tenzorlarda 
simmetriklik 
va 
antisimmetrik 
tushunchalari juft indekslarga nisbatan qaraladi. Masalan,
= 
Fjikn
Va 
^ijkn =
tengliklar o‘rinli boMsa, 4 - rang 
F
tenzor birinchi juft indeks 
bo‘yicha simmetrik boMib, 1 - va 3 - indekslari bo‘yicha antisimmetrik 
deyiladi.
Tenzorlaming simmetriklik xossasi tenzoming o‘zaro bogMiq 
boMmagan elementlar sonining kamayishiga olib keladi. 2 - rang 
tenzomi 3x3 matritsa bilan qiyoslash mumkin. Simmetrik tenzorda bosh 
dioganal va undan yuqorida joylashgan elementlar bilan toMa aniqlanadi. 
Bunday elementlar esa oltiga teng boMadi.
Ikkinchi rang antisimmetrik tenzor koordinatalari bosh dioga- 
naldan yuqorida joylashgan va bu dioganaldan pastda joylashgan
104
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

koordinatalari ishoralari bilan farq qiladi. Bosh dioganalda joylashgan 
elementlar nolga teng bo'ladi. Haqiqatan ham, 
Ay
antisimmetrik tenzor 
boMsin: 
Ajj—A ji.
Bu tenglikda 
i=j
deb olsak, 
Aj,=-Ajj
(bu tenglikda j 
bo'yicha yigMndi yo‘q) boMadi, bundan 
Aj,=0
ekaniigi kelib chiqadi. 
Shuning uch oMchovli fazoda antisimmetrik tenzorning bogMiq 
boMmagan elementlari uchga teng boMadi.
Tenzorlaming simmetrik va antisimmetrik xossalari invariantligini 
ko‘rsatish mumkin. Haqiqatan ham, simmetrik 
Ty
tenzomi ko'raylik: 
ya’ni 
Ttj = Tjt .
Dekart koordinatalar sistemasini biror burchakka 
burishdan hosil boMgan sistemada ham 7"J = 
T'jt 
boMishini ko'rsatamiz:
T,j 
jnTrm ~ 
^JnfluTmn
~ 
T
ji
 •
Antisimmetrik xossasi ham shunday isbotlanadi.
Teorema. Har qanday ikkinchi rang tenzomi simmetrik va 
antisimmetrik tenzorlaryigMndisi ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Isboti. Ikkinchi rang 
Tq
tenzor berilgan boMsin. Bu tenzoming 
ixtiyoriy elementi uchun
T 
T 
T 
T 
T 
T 
T +T 
T - T