U dalaboyev vektor va tenzor

98
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(
8
.
8
)
( \
0 0") 
0 1 0 
0 0 1
ko‘rinishda boMadi. Bu yerda 
M = -p n R 1
shar massasi. (8.8) ko‘ra
(8.6) ni
E = -M R W ,
5
2
ko‘rinishda yoziladi, 
l= -M R 1
ga shaming inersiya momenti deyiladi,
5
i
va u sferik ko'rinishdagi bir jinsii shaming aylanma harakatdagi inersion 
xarakteristikasini ifodalaydi.
Shuni qayd qilish kerakki, kinetik energiyaning ifodasi uning 
invariantligini ko‘rsatadi, chunki bu ifodani tashkil etuvchilari skalyar 
miqdorlardir.
Umumiy holda Iik ning ma'nosini anglash uchun yangi sistemaga 
o'tilganda bu miqdorlar qanday o‘zgarishini kuzatish kerak. (* ',/,r') 
sistema 
{x,y,z)n\
burishdan hosil qilinganboMsin:
C = f p ( n ( V '2- * X K
(8.9)
Eski va yangi sistemalar (7.23) qonuniyat bo‘yicha bogMangan:
K = amxm.
(8.10)
s,k
= 
a,mab„
= 
a,mak,,s*m
boMgani uchun (8.10) almashtirishning Yakobiani 
J =
det(arai) = 1 boMgani uchun
Kk 
= a,*,aknlp(p){sr~r2 ~XmX„)dv,
(8.1 1)
V
(8.11) ni (8.4) bilan taqqoslash natijasida
C 
(8-12)
munosabatga kelamiz. (8.12) dan
/ > X = 
=
 / » , » (
0
^ ; )
(7.23) ga ko‘ra bundan
/ » ; = 
l^mjo^
(8.13)
(8.13) dan koordinatalar sistemasini burishda energiyaning o‘zgar- 
masligi, ya'ni invariantligini ifodalaydi. Shu bilan birga (8.12) ifoda 
jism inersiyasini aniqlovchi /,* miqdoriaming koordinatalar sistemasini 
burishda qanday 0‘zgarishini ko‘rsatadi.
99
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Iik
miqdorlar jismning aylanma harakatida uning enersiyasini 
ko‘rsatuvchi kattalikdir. 
Iik
miqdorlaming majmuasi inersiya tenzori 
deb ataluvchi miqdoming koodinatalaridan iboratdir.
8.2. Tenzor tushunchasi
Oldingi mavzuda koordinatalar sistemasini burish jarayonida 
vektorning koordinatalarini qanday almashish qoidalari bilan tanishdik. 
Matematika, mexanika va fizikada shunday murakkab obyektiar borki 
ulaming koordinatalari bazis almashish jarayonida maxsus qoida bilan 
o‘zgaradi. Masalan, ikki vektor koordinatalarining ko'paytmasidan 
hosil boMgan 9 ta 
A,B;
miqdordan iborat boMgan obyektni qaraylik.
Vektor koordinatalarini almashish qoidasi (7.24) dan bu 9 miqdor ushbu
qoida bo'yicha almashadi. 
A,Bj = Tn
belgilash kiritish natijasida 
T'j
= 
amajmTnm
tenglikka kelamiz. Uch oMchovli fazoda koordinata siste- 
masini burish jarayonida 9 ta miqdorning bunday almashish qoidasiga 2- 
rang tenzor deyiladi. Xuddi shunengdek, 27 ta miqdordan iborat 
to'plam 
TIJt
= 
A,BjCk
ni qarash mumkin va ulaming almashish qoidasi
ko‘rinishda boMadi. 
TiJk
miqdorlar uch oMchovli fazoda 
uchinchi rang
tenzorlar
deyiladi. Bu yerda tenzor ta’rifni biz tushunish qulay boMishi 
uchun vektorlar orqali keltirdik. Tenzorlaming vektorga bogManmagan 
umumiy ta’rifi quyidagicha boMadi:
T a’rif. Agar uch oMchovli fazoda 3R miqdorlar ortogonal koordi- 
natalar sistemasini burishda eski va yangi bazislarda
(8.14)
qoida bo‘yicha bogMangan boMsa bunday miqdorlarga 
R- rang tenzorlar
deyiladi.
Ta’rifga ko‘ra nolinchi rang tenzor skalyar boMib, u koordinatalar 
sistemasini almashihsida o'zgarmaydi. Birinchi rang tenzor vektordan 
iborat boMib, uning koordinatalari (7.23) yo‘ki (7.24) qonuniyat bilan 
o‘zgaradi:
4 ~ aijAj
yo‘ki 
Ak =abA't
(8.15) 
2 - rang tenzor uch oMchovli fazoda 32 koordinatalari mavjud 
boMadi. Ulaming to‘g‘ri va teskari almashish qonunlari quyidagicha 
boMadi:
100
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

= 
ocmaMBM, 
BtJ
= ar(> * X , 
(816)
3 
- rang tenzorning almashish qonunida uchta burish matritsasi 
ishtirok etadi.
(8.16) ifodalarni matritsa ko'rinishda ifodalash hisoblashlarda 
qulaylik tug'diradi.
%
= 
= 
a(nBnma jm 
= 
a inBma T
mJ = 
{a -B -a r ) ^
B '
= 
a -B a 1
(8 .1 7 )
Xuddi shuningdek, (8.17) dan teskari almashish qonunini keltirib 
chiqarish mumkin
B = a r B a
(8.18)
\-misol.
(7.6) formula yordamida aniqlangan Kroneker belgisining 
tenzorligini ko‘rsataylik.
> Kroneker belgisini Dekart koordinatalardagi ortlaming skalyar 
ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkin: 
^ = (em,et ),S'mt=(e'm,e't ).
Ortlaming almashish qonunidan
Demak, Kroneker belgisi ikkinchi rang tenzor ekan. Hisoblashni davom 
ettirsak
tenglikka ega boMamiz. Kroneker belgisi ikkinchi rang tenzor 
boMishidan tashqari o‘z ko‘rinishini ham o'zgartirmas ekan. Bunday 
tenzorlarga invariant tenzorlar deyiladi. 
4
2-misol.
BoshlangMch koordinatalar sistemasida 2 - rang B 
tenzorning koordinatalari berilgan boMsin:
0
1
0
- 1
0
- 2 V 2
0
2>/ 2
0
(8.19)
z o‘qi atrofida Dekart koordinatalar sistemasini 135° ga burish natijasida 
hosil boMgan sistemada tenzor koordinatalarini toping.
0(8.17) dan foydalansak
W
2 / 2
V 2 / 2
0 '
' 0
1
0
N — V 2 / 2 - V 2 / 2
0 '
B =
- V
2 / 2
- V 2 / 2
0
-1
0
- 2 V 2
V 2 / 2
- V 2 / 2
0
0
0
1
y
, 0
2 V 2
0
>
0
0
V
1
)
- V 2 / 2