8.3. Tenzorlar ustida amallar
8.3.1.
Tenzorlarni qo‘shish. Faqat
bir xil rangli tenzorlami
qo‘shish mumkin va qo‘shishda mos koordinatalari qo‘shiladi.
Tenzorlami qo‘shish natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.
Misol.
Masalan, uchinchi rang tenzor quyidagicha qo‘shiladi:
C ljk 1
4jk + fyjk
t> C ning uchunchi rang tenzor ekanligini ko‘rsatamiz.
A
va
B
uchinchi rang tenzor boMgani uchun uiaming har birining elementlar
soni 33=27 ga teng.
A
va
B
tenzorlaming mos elementlari qo‘shilgandan
so‘ng yifmdidda yana 27 ta element hosil boMadi.
Endi C tenzor
koordinatalarining almashish qonunini ko‘raylik.
+ Sm/) =
amaimauCnml.
Shunday qilib,
C mU
=
a ima jma k f-m U -
Bu munosabat C ning uchunchi rang tenzorligini ko‘rsatadi. Ravshanki,
ixtiyoriy rangli tenzorlar uchun ham bu qoidaning o‘rinliligini ko‘rsatish
qiyin emas.
4
8.3.2. Tenzorlarni ko‘paytirish.
A
tenzor
R/
rangli boMib
B
tenzor
R2
rangli boMsin. Bu tenzorlami ko‘paytirish
natijasida
R/+R2
rangli C
tenzor hosil boMadi.
Misol. A
1 - rang,
B
2 - rang tenzorlar boMsin. Bu tenzorlami
ko'paytirish natijasida 3 - rang tenzor hosil boMadi.
A,
■
Bjt — C,Jk
t> Haqiqatan ham C ning elementlar soni 27 ga ya'ni 3
- rang
tenzor elementiar soniga teng boMadi. Endi koordinatalar sistemasini
burishdagi almashish qonunini tekshiramiz.
c 'jk = 4'- B]k = a,„An ■
=
a,„a ,maki-Wk,
=
a,„a,„,auc m,r
Bundan C ning tenzorligi kelib chiqadi. ^
8.3.3. Tenzorni yigMshtirish.
A R -
rang tenzor boMsin.
A
tenzor
koordinatalarini ikki indeksi bo'yicha qo‘shishga tenzorni yig'ishtirish
deyiladi.
R -
rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida
R-2
nargli tenzor hosil
boMadi. Tenzomi yig'ishtirish amali
tenzomi Kroneker simvoliga
ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil boMgani
uchun tenzomi yigMshtirish amalini
tenzomi Kroneker belgisiga
ko‘paytirishdan hosil qilsa boMadi.
Misol. A
uchinchi rang tenzor boMsin. Bu tenzomi oxirgi ikki
indeksi bo‘yicha yig‘ishtiraylik, yani
a
,
jj
-
Ikkinchi
tomondan
A
, A
= A,u
102
www.ziyouz.com kutubxonasi
bo'ladi. Bu yerda
j
yig‘ish
indeksi
i
esa erkin indeks,
shuning uchun
Aw
=
B,
bo'ladi. Ya’ni uchinchi rang tenzomi yigMshtirish natijasida 1 -
rang tenzor hosil boMadi. Haqiqatan ham,
^ im fi^ J ffi^ J k ^ m n k
^ m fin k ^ m n k
^ im ^ m k k
^ im ^ m
*
Misol. C
4 - rang tenzomi oxirgi ikki indeksi bo‘yicha yigMshni
ko'raylik. Natijaviy tenzorni ikkinchi rangligini isbotlaylik.
t>
c;jtt
= D '=
a,majnaklathC,l„ll,
=
a ^ a ^ C ^
=
aimaJKC ^
=
a^a^D
^ . ◄
Tenzomi yigMshtirish amalini qoMlash uchun tenzor rangi 2 va
undan yuqori boMishi kerak. 2 - rang tenzomi
yigMshtirish amaliga
tenzorning izi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Sp(A,J) = Tr(AiJ) = Att
(8.20)
Koordinata sistemasini burishga nisbatan tenzoming izi inva-
riantdir. Haqiqatan ham
Dostları ilə paylaş: