Universitetin adı adau

§ 3. Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar

arasında əlaqə

Tutaq ki, inteqralının aşağı sərhədi həmişəki kimi sabit ədəddir, lakin yuxarı sərhədi – b dəyişir. Onda inteqralın qiyməti də dəyişər, yəni inteqral yuxarı sərhədin funksiyasıdır.

Yuxarı sərhədi x ilə işarə edək və bunu inteqrallama dəyişəni ilə qarışdırmamaq üçün sonuncunu t ilə işarə edək


a sabit olduğundan bu inteqral yuxarı sərhədin, yəni x-in funksiyasını təyin edir. Bu funksiyanı ilə işarə edək

(1)

Əgər mənfi deyilsə, funksiyası ədədi qiymətcə aAXx əyrixətli trapesiyasının sahəsinə bərabərdir (şəkil 23). Aydındır ki, həmin sahə
x-dən asılı olaraq dəyişir.

Teorem. Əgər funksiyası kəsilməzdirsə, onda yuxarı sərhədi dəyiəşən olan müəyyən inteqralın törəməsi vardır və inteqralaltı funksiyanın yuxarı sərhəddə aldığı qiymətə bərabərdir, yəni

(2)

İsbatı. x-in ixtiyari qiymətini götürək və ona elə artımı verək ki, . Onda müəyyən inteqralın 4-cü xassəsinə əsasən alarıq:

Buradan funksiyasının artımını tapaq:

.

Orta qiymət haqqında teoremi (11-ci xassə) tətbiq etsək, alarıq

,

burada ədədi x ilə x ₊ x arasındadır. Bərabərliyin iki tərəfini də x bölək

.

Əgər indi , onda və funksiyası parçasında kəsilməz olduğu üçün . Onda axırıncı bərabərlikdə şərtində limitə keçsək alarıq

və ya . Teorem isbat olundu.

Beləliklə, müəyyən edilib ki, istənilən parçasında kəsilməz funksiyasının bu parçada ibtidai funksiyası var və funksiyası – yuxarı sərhədi dəyişən olan müəyyən intaqral – üçün ibtidai funksiyadır. funksiyası üçün başqa ibtidai funksiya -dan yal­nız C sabitinə fərqləndiyindən biz müəyyən və qeyri-müəyyən inteqral arasında olan əlaqəni müəyyən etmiş oluruq: