Universitetin adı adau

İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik.

Surətinin dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan kəsrlər düzgün, əks halda isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.

Düzgün olmayan kəsrin surətini məxrəcinə bölərək (çoxhədlilərin bölünməsi qaydasına əsasən) onu müəyyən bir çoxhədli ilə düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:

,

burada – çoxhədli, isə düzgün kəsrdir.

Tərif. Aşağıdakı şəkildə olan düzgün kəsrlərə uyğun olaraq I, II, III və IV növ sadə kəsr deyilir:

I.

II. (k müsbət tam ədəddir və k≥2),

III. (məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, yəni ),

IV. (k müsbət tam ədəddir və k≥2,məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir).

I, II və III növ sadə kəsrlərin inteqrallanması çətin olmadığından onları izah etmədən verə bilərik:

I.

II.

III.

(bax §5).

IV.

Burada birinci inteqral əvəzləməsi tətbiq edilməklə hesablanır. Doğrudan da

İkinci inteqralı ilə işarə edək və aşağıdakı kimi çevirək:

burada

qəbul edilmişdir (şərtə əsasən məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, deməli, ). Sonra isə hesablamanı belə aparırıq:

(1)

Axırıncı inteqralı aşağıdakı kimi çevirək:

Alınmış inteqralı hissə-hissə inteqrallayaraq:

Bu ifadəni (1) bərabərliyində yerinə yazaq:

Sağ tərəfdə də şəklində inteqralı var, lakin inteqral­altı funksiyanın məxrəcinin dərəcəsi bir vahid kiçikdir, yəni k-1-dir. Beləliklə, inteqralını inteqralı ilə ifadə etdik.

Bu qayda ilə davam etməklə, məlum inteqrala gəlib çıxarıq:



t və m-in yerinə onların ifadələrini yazsaq IV inteqralının x və verilmiş A, B, p, q ədədləri vasitəsi ilə ifadəsini alarıq.
Rasional kəsrin sadə kəsrlərə ayırması

Tutaq ki, düzgün rasional kəsri verilmişdir. Fərz edək ki, surət və məxrəcdəki çoxhədlilərin əmsalları həqiqi ədədlərdir və kəsr ixtisar olunmayandır (yəni surət və məxrəcin ortaq kökləri yoxdur).

Teorem 1. Tutaq ki, məxrəcin k dəfə təkrarlanan köküdür, yəni . Onda verilmiş düzgün kəsrini aşağıdakı kimi digər iki düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:

burada A sıfra bərabər olmayan sabit, isə dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan çoxhədlidir.

Teorem 2. Tutaq ki, və burada çoxhədlisi ifadəsinə bölünmür. Onda düzgün kəsrini aşağıdakı kimi digər iki düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:

burada çoxhədlisinin dərəcəsi çoxhədlisinin dərəcəsindən kiçikdir.

İndi isə düzgün kəsrinə 1 və 2 teoremlərini tətbiq edərək məxrəcinin bütün köklərinə uyğun sadə kəsrləri ardıcıl olaraq ayıraq. Beləliklə, aşağıdakı nəticəni alarıq.

Əgər

olarsa, onda düzgün rasional kəsrini aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Buradakı əmsallarını belə bir mülahizəyə görə təyin etmək olar: yazılmış bərabərlik eynilikdir, ona görə də sağ tərəfdəki kəsrləri ümumi məxrəcə gətirdikdən sonra sağ və sol tərəflərin surətlərində eyni çoxhədlilər alarıq. x-lərin eyni dərəcələrinin qarşısındakı əmsallarını bərabərləşdirərək məchul əmsallarını tapmaq üçün tənliklər sistemini alarıq. Əmsalların tapılmasının bu üsülu naməlum əmsallar üsulu adlanır.

Beləliklə, göstərdik ki, istənilən düzgün rasional kəsr sadə rasional kəsrlərin cəmi şəklində göstərilə bilər.

Sadə irrasionallıqların inteqrallanması

I. inteqralına baxaq, burada R – öz arqumentlərinin rasional funksiyasıdır.

Tutaq ki, k ədədi kəsrlərinin ortaq məxrəcidir. əvəzləməsi aparaq. Onda x-ın hər bir kəsr üstlü qüvvəti
t-nin tam qüvvəti ilə ifadə olunar və deməli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına çevrilər.

II. İndi

şəklində inteqrala baxaq. Bu inteqral

əvəzləməsinin köməyi ilə t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir, burada k ədədi kəsrlərinin ümumi məxrəcidir.

( ) şəklində inteqrallar

Belə inteqrallar aşağıdakı Eyler əvəzləmələrinin köməyi ilə yeni dəyişəninin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

1. Eylerin birinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,

əvəzləməsini qəbul edirik. Müəyyənlik üçün -nın işarəsini müsbət götürək. Onda

olar. Buradan isə x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:

(deməli, dx də t ilə rasional şəkildə ifadə olunar). Buna görə ifadəsi t-nin rasional funksiyası olur

Beləliklə, , x və dx ifadələri t vasitəsi ilə rasional şəkildə göstərilir; deməli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

2. Eylerin ikinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,



əvəzləməsini aparaq. Onda (müəyyənlik üçün qarşısındakı işarəni müsbət götürək)

.

Buradan x rasional funksiya kimi t ilə ifadə olunur:

Göründüyü kimi, dx və də t ilə rasional şəkildə

ifadə olunur; ona görə x, və dx-in qiymətlərini inteqralında yerinə yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirərik.

3. Eylerin üçüncü əvəzləməsi. Tutaq ki, və həqiqi ədədləri üçhədlisinin kökləridir.

qəbul edək. olduğundan

Buradan x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi ilə ifadə olunur:

.

dx və də t ilə rasional ifadə olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

Qeyd. Eylerin üçüncü əvəzləməsi yalnız olduqda deyil, olduqda da tətbiq olunur, ancaq çoxhədlisinin köklərinin həqiqi olmalıdır.