H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov


  Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərin



Yüklə 7,81 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə33/48
tarix22.05.2020
ölçüsü7,81 Mb.
#31344
1   ...   29   30   31   32   33   34   35   36   ...   48
Ar2015-665


10.5.3. 

Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərin 

            

vektor modelləşdirilməsi 

 

 

Bütün xətti obyektlər eyni struktura malik olduğundan onları vahid modeli 

şəklində  yazmaq  mümkündür.  Əgər  ilkin  tənlik  n  tərtibli  bir  tənlikdən  ibarət 

olarsa  onu  əvəldə  göstərilmiş  qaydalara  əsasən  system  tənliyə  gətirmək 

lazımdır:  

dx/dt=Ax+Bv(t).                                       (10.25)             

 

Burada 


n

R

x



–  n–ölçülü;  v(t)–  m–ölçülü  vektor;  A,B  –  müvafiq  olaraq 

n

n



 və 

m

n



ölçülü matrislərdir.  

Şəkil 10.19-da Simulink paketində modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir. 

 

 



Şəkil 10.19. Tənlik (10.25) –in modelləşdirmə sxemi 

 

Misal 10.10.  Fərz edək ki, tənlik  

 

.

2



)

0

(



,

5

)



0

(

),



(

4

.



0

2

),



(

2

2



1

2

2



1

2

1



2

1









x

x

t

x

x

x

t

x

x



          (10.26)      



Burada 











1



0

0

2



B

,

4



.

0

2



1

0

A



 

v



1

=1+0.2sin(4t),   v

2

=1. 


Şəkil  10.20-də  müvafiq  modelləşdirmə  sxemi,  b-də  isə  x

1

(t)  ,  x



2

(t) 


həllərinin qrafikləri göstərilmişdir.  

 

314 


 

 

a) 



 

 

b) 



Şəkil 10.20. Tənlik (10.26)-in həll sxemi (a) və 

 

həllərin qrafiki (b) 



 

Gain    constanta  bloklarına  matris  orta  mötərizələrin  içərisində  sətir-

sətir daxil edilir. Hər sətirdən sonra ; yazılır. 



 

     

10.6. Xaotik proseslər 

 

      Belə xaotik proseslərin riyazi modelləri dəterminik təbiıtı malik 



olur.Determinik xaosun klassik modellərindən biri Lorens tənliyidir (1963) : 

  

u



xy

bz

z

xz

y

rx

y

x

y

x









,

),



(

                                           (10.27)                



       Parametrlərin  bəzi,  məsələn,  σ=10,  r=97,  b=8/3    qiymətlərində  (10.27) 

tənliyinin  həlli  pequlyar  olmayan  (müəyyən  qanuna  tabe  olmayan)  rəqslərə 

oxşayır.  


 

315 


 

     Şəkil  10.21-də  (10.27)  qeyri-xətti  tənliklər  sisteminin  Simulinkdə  həll 

sxemi,  şəkil  10.22-də  x(t),  y(t)  və  z(t)  koordinatları  üzrə  requlyar  olmayan 

rəqslər  (həll),  şəkil  10.23-də  isə  traektoriyaların  yığıldığı  attraktorlar  (cazibə 

orbitləri) göstərilmişdir.   

 

Şəkil 10.21. Lorens tənliyinin



r=97, b=8/3

 qiymətlərində və  

                  х(0)=1, у(0)=z(0)=0 başlanğıc şərtlərində həll sxemi    

 

 



 

 

Şəkil 10.22. Lorens tənliyinin həlli: х(t), у(t) və z(t

 


 

316 


 

 

 



Şəkil 10.23. Müxtəlif müstəvilərdə traektoriyaların 

 

yığıldığı atraktorlar    



 

Lorens tənliyinin Matlabda həlli vasitəsi ilə üçölçülü  

attraktorun qurulması  

 

     Şəkil  10.24-də  M-fayldan  istifadə  etməklə  (10.27)  təntiyinin  ode45 

(Dormand-Prince)  üsulu  ilə  həll  proqramı  göstərilmişdir.  Üçölçülü  qrafik 

plot3(.) əmrinin köməyi ilə qurulmuşdur. 

 

 

 



 

 

 



 

Şəkil 10.24. Ədədi həll proqramı 

 

Şəkil 10.25-də Lorens xaosunun üçölçülü attraktoru göstörilmişdir 



 

317 


 

 

Şəkil 10.25 . (X,Y,Z) müstəvisində üçölçülü attraktor 



 

10.7. Diferensial tənliklərin yazılış formaları  

 

     1.  Adi  differensial  tənlik.  Axtarılan  funksiya  (məchul)  bir  dəyişəndən 

(burada t) asılıdır. Xətti halda: 

)

t



(

u

b



)

t

(



y

a

dt



)

t

(



dy

a

dt



)

t

(



y

d

a



0

2

1



2

2

0





y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni  həll; u(t) – məlum funksiya. 

Abstrakt 

riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə:  dy/ dx. 



     2. Xüsusi törəməli differensial tənlik.  Axtarılan funksiya iki və daha çox 

dəyişəndən x, t,…, asılıdır: 

)

t

,



x

(

u



t

)

t



,

x

(



y

x

)



t

,

x



(

y

2



2





 . 



y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll.  

     3.  Xətti  differensial  tənlik.  Funksiya  və  onun  törəmələrinə  nəzərən  xətti 

olan tənlik. Məsələn, 

)

t

2



cos(

y

3



y

t

y



2





    4.  Qeyri  xətti  differensial  tənlik.  Funksiya  və  onun  törəmələrinə  nəzərən 



qeyri xətti olan tənlik: 

)

t



(

u

y



e

y

y



2

y

2



t







,

bu

)



t

(

y



dt

)

t



(

dy

)



1

)

t



(

y

(



dt

)

t



(

y

d



2

2

2





 



 

318 


 

bu

)



t

(

ky



dt

)

t



(

dy

2



 



     5.  Qeyri  stasionar  xətti  differensial  tənlik.  Bir  və  ya  bir  neçə  parametri 

zamandan asılı olan tənlik: 

)

t

(



bu

)

t



(

y

)



t

(

a



dt

)

t



(

dy

)



t

(

a



dt

)

t



(

y

d



)

t

(



a

2

1



2

2

0





Məsələn,


)

t

(



bu

y

e



dt

dy

t





     6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik: 

 

u

b



)

y

sin(



)

t

(



dt

y

d



0

2

2





      


bu

y

)



t

2

sin(



y

dt

dy



t

dt

y



d

2

2





 

     7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik. Obyektin 

sərbəst hərəkətini xarakterizə edir: 

F(y,y


, y




)=0,    y(0)=y

0

,   y´(0)=y'



0

Məsələn, 



0

)

t



(

y

a



dt

)

t



(

dy

a



1

0



,   y(0)=y

0



     8.  Qeyri  bircins  differensial  tənldik.  Sağ  tərəfi  sıfra  bərabər  olmayan 



tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir: 

)

(



0

2

1



2

2

0



t

x

b

y

a

dt

dy

a

dt

y

d

a





     9.  Vəziyyət  dəyişənlərində  yazılmış  tənlik.  Normal  Koşi  forması.  Bir 

tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər sistemidir. Xətti halda:  

                 

1

1

x



dt

dx



                 

u

b

x



a

x

a



dt

dx

0



2

2

1



1

2





   

     10.Vektor şəklində yazılış forması: 

 

Du

Cx

y

Bu

Ax

dt

dx



,



 

 



 

319 


 

Çalışmalar -10.1 

 

  

1. Aşağıdakı diferensial tənliklərin analitik (simvolik) həllini tapın.  

 

1. 



2

t

7



dt

dy



,  


7

.

0



)

1

(



y

 



 

2. 


y

cos


t

5

dt



dy

2



,  

4

/



)

0

(



y



 

 

3. 



t

3

e



y

dt

dy





,  

2

)



0

(

y



 

 



4. 

35

y



5

dt

dy



,  



4

)

0



(

y



 

 

5. 



8

y

5



dt

dy

7



dt

y

d



2

2



,  



1

)

0



(

y



2

)



0

(

y



 



 

6. 


t

35

y



15

dt

dy



12

dt

y



d

2

2





,  

0

)



0

(

y



1



)

0

(



y



 

 

7. 



0

y

dt



dy

3

dt



y

d

2



2



 

 



8. 

y

x





 

    


x

y

)



1

x

(



10

y

2





,  



1

)

0



(

x



0

)



0

(

y



 . 


2. Aşağıdakı  diferensial  tənliklərin  ədədi  həllini 

23

ode

,

45



ode



113



ode



s



15

ode

  funksiyalarından  birinin  köməyi  ilə  tapın. 

)

t

(



y

  keçid  prosesinin 

qrafikini qurun. 

 

1. 



0

y

dt



dy

2

dt



y

d

2



2



,  


1

)

0



(

y



0

)



0

(

y



 



 

2. 


t

1

y



dt

y

d



2

2



,  


0

)

0



(

y



5

.



0

)

0



(

y



 

 



3. 

0

y



2

dt

dy



t

2

dt



y

d

)



t

1

(



2

2

2





1



)

0

(



y



1

)

0



(

y



 

 



4.  

y

x



x



                



y

3

x



2

y



,  



2

)

0



(

x



2

.



0

)

0



(

y



 

 

5. 



35

y

5



dt

dy



,  


4

)

0



(

y



 

 

6. 



t

3

e



y

dt

dy





,  

2

)



0

(

y



   


 

7. 


t

2

e



y

y

t



y

)

y



1

(







0

)



0

(

y



0



)

0

(



y





 

320 


 

  

8. Aşağıdakı  ikinöqtəli  sadə  sərhəd  məsələlərini 



0

t

0



10



t

f



 

intervalında simvolik həll edib 

)

t

(



y

 və 


)

t

(



y

 qrafiklərinin verilmiş nöqtələrdən 

keçməsini yoxlayın. 

 

1. 



1

y

5



y



,  



0

)

0



(

y



,  

1

)



1

(

y



.    


 

2. 


1

y

5



y



,  



0

)

1



(

y



,  

0

)



1

(

y



.    



 

3. 


0

y

4



y

2

.



0

y





,  



1

)

0



(

y



,  


0

)

2



(

y



.    


Törəmənin 

)

t



(

y

  qrafikini  belə  qurmaq  olar.  Həll  y -i  aldıqdan  sonra 



)

y

(



diff

dy



  funksiyasının  köməyi  ilə 

)

t



(

y

  törəməsini  alıb 



)

10

,



0

,

dy



(

ezplot


 

funksiyasından istifadə etmək lazımdır. 



     1.  Aşağıdakı  tənzimləmə  obyektləri  üçün  diferensial  tənliklərin 

MATLABda simvolik həllini tapın və ezplot (y, t



0

,t

f

) funksiyasının köməyi ilə 

y(t) həllinin qrafiklərini qurun.  

       

1.1. Koşi məsələsi.  

       1. 

t

e

y



2

y





 

Başlanğıc şərtlər verilməyib – ümumi həlli tapmaq lazımdır. 



       2. 

0

u



,

u

y



3

y

8



.

0

y



2





 



       y(0)=2, y(0)=0  - sərbəst hərəkət. 

       3. 











0



u

,

u



y

4

x



3

y

,



y

3

x



2

x



 

        x(1)=0, y(1)=6 – sərbəst  hərəkət 



        4. 

1

u



,

u

ty



y

2





 

        y(0)=4 - sərbəst və məcburi hərəkətlər 

        5. 

)

t



6

sin(


u

,

u



y

2

y



t

y

t



2





 



        y(0)=0, 

0

)



0

(

y



 - məcburi hərəkət  



        6. 

100


,

0

y



y

)

1



y

(

y



2







 



        y(0)=1, 

0

)



0

(

y



– sərbəst  hərəkət 



        

1.2. Sadə sərhəd msələsi 

        1

).

t

(



u

,

u



ty

y

2





 



       y(1)=0 

        2. 

).

t

(



)

t

2



cos(

u

),



t

2

cos(



y

y







 



       y(0)=1, 

0

)



2

(

y



 -  sərbəst və məcburi hərəkətlər 



        3. 

0

y



y

2

y



)

4

(







 



       

,

1



)

5

(



y

,

0



)

3

(



y

,

2



)

1

(



y

,

1



)

0

(



y

)

3



(







 - sərbəst hərəkət 



 

321 


 

      4. 













25



.

0

u



,

8

,



u

4

x



y

)

1



x

(

y



,

y

x



2



 

      x(0)=1,  y(2)=0 -  sərbəst və məcburi hərəkətlər 



      ezplot  (y,  t

0

,t

f

)  funksiyasının  köməyi  ilə  y(t)  və  y (t)  qrafiklərini  bir 

pəncərədə qurub bunların verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın. 



      2.  Aşağıdakı  diferensial  tənliklərin  ədədi  həllini  ode45,  ode23s  və  ya  

digər funksiyaların köməyi ilə tapın (§ 2.8). 

      1.  y =2y+u, u=1, y(0)=1. 

      2.












.

2



)

0

(



y

,

2



)

0

(



x

,

0



u

,

u



x

y

)



1

x

(



50

y

,



y

x

2





 

 

      3. 













)

t



2

cos(


u

,

u



x

2

x



4

x

t



u

,

u



x

6

x



2

x

2



2

1

1



2

2

1



1

2

1



1



 

        x

1

(0)=0,    x



2

(0)=1. 


      4. 

t

2



u

,

u



y

3

y



5

.

0



y

2







 



       y(0)=1, 

4

)



0

(

y





      5. 

)

t



2

sin(


e

u

,



u

2

y



t

y

2



y

t

2



)

4

(









 

      


.

0

y



,

0

)



0

(

y



,

0

)



0

(

y



,

1

)



0

(

y



)

3

(







 

       6. 



u

y

e



2

y

4



y

t

6



ty

5

y



t

2

2



)

3

(



)

4

(









 

       


.

3

/



),

t

4



sin(

e

e



u

t

5



t

3







 



       

2

.



0

)

0



(

y

,



2

/

1



)

0

(



y

)

0



(

y

,



1

)

0



(

y

)



3

(







 

     Qrafik pəncərədə subplot  plot funksiyalarının köməyi ilə x(t), y(t), x



1

(t), 


x

2

(t),  y (t) qrafiklərini qurun. 



Yüklə 7,81 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   29   30   31   32   33   34   35   36   ...   48




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin