Teorem 5. İstənilən sayda qabarıq çoxluqların kəsişməsi qabarıq çoxluqdur. İsbatı. Tutaq ki, ,, qabarıq çoxluqdur və . Ixtiyari iki nöqtəsi götürək. Aydındır ki, üçün . qabarıq olduğu üçün nöqtələrini birləşdirən parça hər bir -ya daxildir və deməli, çoxluğuna daxildir, yəni qabarıqdır. ■
Tərif 9. çoxluğunun nüvəsi aşağıdakı çoxluğa deyilir:
.
Nüvəsi boş olmayan qabarıq çoxluğuna qabarıq cisim deyilir. Qabarıq çoxluğun nüvəsi qabarıq çoxluqdur. Doğrudan da, tutaq ki, ixtiyarı iki nöqtədir. Onda üçün
, , ,
, .
işarə etsək üçün və . çoxluqunun qabarıq olmasından çıxır ki, və , şərtini ödəyən ədədlər üçün
, ,
yəni .
Qeyd edək ki, qabarıq cisimlərin kəsişməsi qabarıq cisim olmaya bilər. xətti fəzasının ixtiyarı çoxluğu üçün onu öxündə saxlayan ən kiçik qabarıq çoxluq var: bu -nı özündə saxlayan bütün qabarıq çoxluqların kəsişməsidir. fəzasının özü belə çoxluqlardandır. Bu çoxluğa -nın qabarıq örtüyü deyilir.
Misal 9.1.fəzada kub, kürə, tetraedr, yarımfəza qabarıq cisimlərdir. Parça, müstəvi üçbucaq bu fəzada qabarıq çoxluqlardır, lakin qabarıq cisim deyirdirlər.
Misal 9.2.fəzada qabarıqdır. Doğrudan da, əgər və olarsa, onda , , ədədlər üçün
.
çoxluğu qabarıq cisimdir (yoxlayın).
Bircins-qabarıq funksionallar. Tutaq ki, həqiqi xətti fəza və .
Tərif 10. Əgər funksionalı
1) , üçün
şərtini ödənilərsə, -yə qabarıq funksional deyilir;
2) , üçün
şərtini ödəyərsə, -yə müsbət-bircins funksional deyilir.
2) , ;
, ;
, şərtləri ödəyərsə, -yə yarımnorma deyilir.
Müsbət-bircins qabarıq funksionalı biz sadəcə bircins-qabarıq funksional adlandıracağıq. Aydındır ki, yarımnorma bircins-qabarıq funksionaldır. Bircins-qabarıq funksionalın bəzi xassələrini qeyd edək.
1) , .
Doğrudan da,
.
2) .
Doğrudan da, . üçün doğru olur. Deməli, .
3) , .
Doğrudan da, . .
Bu xassə, xüsusi halda, o deməkdir ki, əgər olarsa, mütləq . Beləliklə bircins-qabarıq funksionalı hər yerdə ola bilər, lakin hər yerdə olarsa, onda .
4) , , .
Doğrudan da, bu aydındır. olduqda isə
.
Xan-Banax teoremi Tutaq ki, həqiqi xətti fəza, onun hər hansı alt fəzasıdır və -da funksionalı verilib.
