Xətti fəzalar: Tutaq ki, həqiqi və yaxud komleks ədədlər meydanıdır. Tərif 1

Tərif 11. Bütün fəzasında təyin olunmuş funksionalı üçün
, (2.4.1). olarsa, ona funksionalının davamı deyilir.
Davam haqqında aşağıdakı Xan-Banax prinsipi funksional analizdə çox mühüm rol oynayır.
Teorem 5 (Xan-Banax). Tutaq ki, həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins-qabarıq funksionaldır və isə -də xətti çoxobrazlıdır. Əgər -da təyin olunmuş xətti funksionalı funksionalına tabedirsə, yəni
, (2.4.2) onda funksionalı bütün fəzasında təyin olunmuş və -ə tabe olan xətti funksionalına qədər davam etdirilə bilər.
İsbatı. Teoremin isbatını aşağıdakı lemma ilə başlayaq.
Lemma 1. Tutaq ki, və ilə alt fəzasının doğurduğu alt fəzadır. Onda teoremin hökmü üçün doğrudur.
İsbatı. -in ixtiyari elementi , . şəklindədir. Əgər axtarılan davam olsa, onda
. işarə etsək
.
İndi ədədini elə seçək ki, (2.4.2) şərti ödənilsin, yəni . (2.4.3)
bərabərsizliyi ödənilsin. (2.4.3) bərabərsizliyi olduqda
və ya ,
isə
və ya
şərtinə ekvivalentdir. Göstərək ki, hər iki şərti ödəyən ədədini tapmaq olar. Tutaq ki, ixtiyari iki elementdir. Onda
.
Buradan
. (2.4.4)
və işarə etsək (2.4.4) bərabərsizliyində və ixtiyari olduğundan olur. ədədini elə seçək ki, olsun. Deməli, funksionalını fəzasında düsturu ilə təyin edilir. Bu funksional (2.4.2) tabeçilik şərtini ödəyir. ■
İndi teoremin isbatına keçək. ilə elə cütlüklər çoxluğunu işarə edək ki,
1) -in alt fəzasıdır və ;
2) xətti funksionalı -ın -ə davamıdır;
3) , ödənilir.
Aydındır ki, çoxluğu boş deyil, çünki . -də nizam təyin etmək olar. Belə ki, iki , element üçün və funksionalı -in davamı olduqda

nizamını təyin edək. Deməli, qismən nizamlı çoxluq olur. Tutaq ki, -in xətti nizamlı alt çoxluqudur. -in yuxarı sərhəddi var , burada bütün , , alt fəzaların birləməsidir, isə hər bir -də funksionalı ilə üst-üstə düşən funksionaldır. Sorn lemmasına əsasən çoxluğunda maksimal elementi var. Göstərək ki, və axtarılan funksionaldır. Əksini fərz edək. Onda . ilə və alt fəzasının doğurduğu alt fəzanı işarə edək. Lemmaya əsasən -ı fəzasına (2.4.2) şərtini ödəyən funksionalına davam etdirmək olar. Deməli, . Bu isə -də maksimallığa ziddir. Beləliklə . ■
Tutaq ki, kompleks xətti fəzadır. Xan-Banax teoreminin komleks variantını göstərək.
Teorem 6. Tutaq ki, kompleks xətti fəza, -də təyin olunmuş yarımnormadır, müəyyən xətti çoxobrazlıda təyin olunmuş xətti funksionaldır və
, (2.4.5) şərtini ödəyir. Onda funksionalını bütün fəzasında təyin olunmuş və aşağıdakı şərti ödəyən xətti funksionalına qədər davam etdirmək olar:
, . (2.4.6)