Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar’’

1-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, va ildizlarga ega bo’lamiz, bularga esa va yechimlar mos keladi. Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lganidan, umumiy yechim (6.4) formulaga asosan quyidagicha bo’ladi:

2-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, va ildizlarga ega bo’lamiz. Bunga mos va funksiyalar chiziqli erkli bo’lganligidan. Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lganidan, umumiy yechim (6.4) formulaga asosan quyidagicha bo’ladi:

3-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz. bu yerdan
. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha

4-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, bundan ikki karrali ildizga ega .Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha
.
5-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, kompleks ildizga ega bo’lamiz. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha

6-misol. tenglamaning va boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, , ildizlarga ega bo’lamiz. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha

Boshlang’ich shartlardan larga nisbatan

sistema hosil bo’ladi. Bu yerdan va ekanligini topamiz. Demak xususiy yechim ekanligini topamiz.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar


Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, .... с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

3. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
4. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, .... с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.