Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar’’

y =( c₁+ c₂x)e^{k x}

ko’rinishida bo’ladi.

3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ kompleks sonlar bo’lsin:

, ,
.
Xususiy yechimlarni
y₁ =e ^x va y₂ =e ^x
shaklida yozish mumkin.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Demak, xususiy yechim
e ^x= e ^xcos( x)+ie ^xsin( x)
bo’lgani uchun e ^xcos( x) , e ^xsin( x) lar (4.3) tenglamaning yechimlari buladi.
Umumiy yechim esa
y= e ^x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x))
ko’rinishda bo’ladi.
Misol.
y^’’ -4y^’+7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²- 4k+7=0.
Uni yechib, k₁=2+i va k₂=2-i topib , umumiy yechimni xosil kilamiz:

y= e^2x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x)).

CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIYENTLLI YUQORI TARTIBLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
Nazariyada va amaliyotda ikki xil tipdagi tenglamalarni farqlashadi – bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan tenglamalar.
Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar quyidagicha koʻrinishda boʻladi:

Oʻng tomoni esa qatʼiy nol boʻlishi lozim.
Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun:

1. 
   Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:
   

Tenglama -ni oʻrniga , -ni oʻrniga qoʻyib hosil qilinadi, y ni oʻrniga hech nima yozmaymiz.

2. 
   – oddiy kvadratik tenglamani yechamiz,
   

Ildizlarga qarab uch xil holatga duch kelishimiz mumkin:

1. 
   Agar D>0 boʻlsa, – turli xil haqiqiy ildizga ega boʻlamiz, bunday
   

holatda differensial tenglama ildizlari quyidagicha boʻladi:
konstantalar

Tushunarliki – larning birortasi 0 boʻlsa, umumiy yechim (masalan boʻlsin)

koʻrinishni oladi.

2. 
   Agar xarakteristik tenglama ikkita karrali yechimga ega boʻlsa ,
   

yaʼni D=0 boʻlsa, u holda bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
konstantalar
Agar ikkala yechim ham boʻlsa, umumiy yechim yana soddalashadi:
konstantalar.
Aynan primitiv differensial tenglamaning yechimi boʻladi:

3. 
   Agar D<0 boʻlsa, xarakteristik tenglama qoʻshma kompleks ildizlarga ega
   

boʻladi:

u holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidaicha koʻrinishda boʻladi:
, konstantalar
Agar kompleks yechimlar toza mavhum sonlardan iborat boʻlsa, yaʼni boʻlsa

u holda yechim quyidagicha boʻladi:
, konstantalar
har bir m-karrali ildiz boʻlsa, u holda unga mos umumiy yechim

koʻrinishda boʻladi, -konstantalar.