Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

1-natija. Yig`indisi o`zgarmas bo`lgan nomanfiy sonlar orasida ko`paytmasi eng katta bo`ladigani, bu bir-biriga teng sonlardir.
2-natija. Ko`paytmasi o`zgarmas bo`lgan nomanfiy sonlar orasida yig`indisi eng kichik bo`ladigani, bu bir-biriga teng sonlardir.
Bu natijalar eng katta va eng kichik qiymatlarni topishga doir masalarga ishlatilishi mumkin.
2-§. Koshi tengsizligining isbotining ikki usuli

Koshi tengsizligi isbotining birinchi usuli.

sonlardan birortasi nolga teng bo`lsa, Koshi tengsizligi bajarilishi ravshan. Shuning uchun deb hisoblaymiz. Ushbu


belgilashdan so`ng quyidagi tasdiqni isbotlash yetarli bo`ladi: shartni qanoatlashtiruvchi ixtiyoriy sonlar uchun
(6)
bo`ladi va tenglik faqat bo`lganda bajariladi.
Oxirgi tasdiqni matematik induksiya usulida isbotlaymiz.
bo`lganda bajarilishi ravshan (1-§ da ko`rsatilgan). da to`g`ri deb olib, o`lganda ham to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz. Ushbu
(7)
tenglikning chap tomonidagi ko`paytuvchilar orasida shunday ikkitasi topiladiki, birinchisi 1 dan katta bo`lmaydi, ikkinchisi 1 dan kichik bo`lmaydi. Agar bu fikr bajarilmasa, (7) tenglik ham bajarilmasligi ravshan. Qulaylik uchun deb olamiz. U holda


(8)
bo`ladi. Ushbu

ta son ko`paytmasi 1 ga teng bo`lgani uchun induksiya faraziga ko`ra
(9)
tengsizlik o`rinli bo`ladi. (8) va (9) dan quyidagi baholash kelib chiqadi:

keltirilgan tasdiqning birinchi qismi isbotlandi.
Agar (6) tengsizlikda tanglik bajarilib, sonlar orasida birdan farqlisi bo`lsa, bu sonlar ko`paytmasi 1 bo`lgani uchun shunday ikkitasi topiladiki (aytaylik va ), bo`ladi. Unda
,

ziddiyat kelib chiqadi. Tasdiq to`la isbotlandi.
Koshi tengsizligi isotining ikkinchi usuli.
sonlardan birortasi nolga teng bo`lsa, Koshi tengsizligi bajarilishi ravshan. Shuning uchun deb hisoblaymiz. Ushbu .

belgilashlardan so`ng quyidagi tasdiqni isbotlash yetarli bo`ladi: shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy sonlar uchun
(10)
bo`ladi va tenglik faqat bo`lganda bajariladi.
Bu fikrni matematik induksiya usulida isbotlaymiz.
bo`lganda bajarilishi ravshan (1-§ da ko`rsatilgan). da to`g`ri deb olib, bo`lganda ham to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz. Ushbu
(11)
Tenglikning chap tomonidagi qo`shiluvchilari orasida shunday ikkitasi topiladiki, birinchisi topiladiki, birinchisi 1 dan katta bo`lmaydi va ikkinchisi 1 dan kichik bo`lmaydi. Agar bu fikr bajarilmasa, (11) tenglik ham bajarilmasligi ravshan. Qulaylik uchun deb olamiz. U holda

,
(12)
bo`ladi. Ushbu

ta son yig`indisi bo`lishi uchun induksiya faraziga ko`ra
(13)
tengsizlik o`rinli bo`ladi. (12) va (13) tengsizliklardan quyidagi baholash kelib chiqadi:
.
Keltirilgan tasdiqning birinchi qismi isbotlandi.
Agar (10) tengsizlikda tenglik bajarilib, sonlar orasida birdan farqlisi bo`lsa, bu sonlar yig`indisi bo`lgani uchun shunday ikkitasi topiladiki (aytaylik va ), bo`ladi. Bundan
,

ziddiyat kelib chiqadi. Tasdiq to`la isbotlandi.