Ўзбекистон республикаси

Kurs ishining tuzilishi: Ushbu kurs ishi kirish qism, 2 bob hamda beshta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
I BOB

ALGEBRA VA ALGEBRAIK AMALLAR
1.1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amallar
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’rifsiz qabul qilinadi. Buning sababi shundaki, u tushunchaga berilgan ta’rifning o‘zi ham yanada soddaroq tushunchaga asoslangan bo‘lishi kerak; ammo bunday tushunchaga ega emasmiz. «To‘plam» so‘zi matematikada «yig‘in», «to‘da», «uyum» ma’noda ishlatiladi. (To‘plamlar nazariyasining asoschilari Chex matematigi B.Bolsano, nemis matematiklari Georg Kantor va R.Dedikentlar hisoblanadi). To‘plamni ta’rifini qidirmasdan, uni misollar bilan tushuntiramiz.

Masalan, Farg‘ona shahridagi barcha 10-sinf o‘quvchilari to‘plam hosil qiladi deyish mumkin, shuningdek o‘zbek alfavitining barcha harflari, barcha natural sonlar, hamma uzluksiz funksiyalar, tekislikdagi barcha nuqtalar, Farg‘ona shahridagi barcha chinorlar ham to‘plam tashkil etadi.

Bunday misollarni cheksiz ko‘p keltirish mumkin. Umuman, to‘plam tushunchasini anglashda uning turli narsalarning birlashmasi (majmuasi) ekanligini unutmaslik kerak.

Berilgan to‘plamni tashkil etuvchi ob’yektlar (narsalar) uning elementlari deyiladi. Odatda to‘plam berilganda uning elementlari bir yoki bir necha belgilarga muvofiq aniqlangan bo‘ladi. Bu belgilarga asoslanib ham narsa berilgan to‘plamning elementi ekanligi yoki elementi emasligini ayta olish mumkin. To‘plamda bir xil (bir-biridan farq qilib bo‘lmaydigan) elementlar bo‘lmaydi. Masalan; (x-1)²(x+1)³=0 tenglamaning barcha ildizlari to‘plami 1, 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo‘lmasdan, balki 1 va -1 elementlardan iborat.

Agar to‘plam birorta ham elementga ega bo‘lmasa, bo‘sh to‘plam deyiladi va uni Æ (ba’zan esa Ù yoki 0) bilan belgilanadi.

To‘plamlarni lotin alfavitining A,B,C,...,X,Y,Z singari bosh harflari bilan, uning elementlari esa a,b,c,...,x,y,z kabi kichik harflar bilan belgilaymiz.

Biror a narsa A to‘plamning elementi ekanligi aÎ A (A ' a) shaklida, a narsa A to‘plamga tegishli emasligini esa ko‘rinishda yoziladi va ularni mos ravishda «a element A to‘plamga tegishli» «a element A to‘plamga tegishli emas» deb o‘qiladi.

Matematikada asosiy sonlar to‘plamini quyidagicha belgilanadi:

N - natural sonlar to‘plami, Z - butun sonlar to‘plami, Q - ratsional sonlar to‘plami, J -irratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami, C - kompleks sonlar to‘plami. Agar berilgan A to‘plamning elementlari biror r(x) xossaga ega bo‘lsa, u to‘plamni A={x:r(x)} yoki A={x | r(x)} ko‘rinishda yozamiz. Bu holda r(x) xossa to‘plamning xarakteristik xossasi deyiladi.
1-misol.

To‘plamning xarakteristik xossasi bilan berilishi	To‘plamning belgilanishi	To‘plamni sonlar o‘qida tasvirlanishi
{x:xÎ a £ x £ b}	[a,b]	a b
{x:xÎ a < x £ b}	(a,b]	a b
{x:xÎ a £ x < b}	[a,b)	a b
{x:xÎ a < x < b}	(a,b)	a b
{x:xÎ x >a}	(a,¥)
{x:xÎ x ³ a}	[a,¥)	a
{x:xÎ x	(-¥,a)
{x:xÎ x£ a }	(-¥,a]

1-jadval.

2-misol. Agar A barcha juft natural to‘plami bo‘lsa, u holda uni quyidagi belgilaymiz A={x: x=2k, k Î N}.

Agar to‘plam chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, uni barcha elementlarini ko‘rsatish bilan belgilanadi.

Masalan A to‘plam 1,2,3,4,5 elementlardan iborat bo‘lsa, uni A={1,2,3.4.5} kabi yoziladi.

3-misol. A to‘plam 24 sonining barcha natural bo‘luvchilari to‘plami bo‘lsa, uni yoki A={1,2,3,4,6,8,12,24} ko‘rinishda yoziladi.

4-misol. |x+1|£ 3 tengsizlikni yechimlari to‘plamini sonlar o‘qida tasvirlang.

Berilgan |x+1| £ 3 tengsizlikni yechamiz -3 £ x+1 £ 3, -4 £ x £ 2. Demak, tengsizlikning yechimlari to‘plami A={x: xÎ R, -4 £ x £ 2}. Bu to‘plamni koordinatalar to‘g‘ri chizig‘idagi ifodasi quyidagicha:

1-ta’rif. Agar A to‘plamning har bir elementi B to‘plamning ham elementi bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qismi yoki qism to‘plami deyiladi va bu munosabatni A Ì B yoki B É A shaklda yoziladi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, har qanday A to‘plam o‘zi o‘zining qism to‘plami, ya’ni A Ì A ekani bevosita kelib chiqadi.

Bo‘sh to‘plam esa har qanday to‘plamning qismidir. A va Æ to‘plamlar A to‘plamning xosmas qismlari deyiladi, A to‘plamning hamma boshqa qismlari esa uning xos qismlari deyiladi.

5-misol. A = {1,3,5}, B = {1,2,3,4,5,6} bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning xos qismi bo‘ladi, ya’ni A Ì B.

6-misol. A = {1,3,5,6} va B= {1,3,4,7,8} to‘plamlarning hech biri ikkinchisining qismi emas.

2-ta’rif. Agar A to‘plam B to‘plamning qismi va B to‘plam A to‘plamning qismi bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng deyiladi va bu munosabat A=B shaklda yoziladi: demak, A=B tenglik AÌB va BÌ A munosabatlarning birgalikda bajarilishi bilan teng kuchlidir.

Masalan. A={-1,1} va B to‘plam esa (x-1)² (x+1)³=0 tenglamaning barcha ildizlari to‘plami bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng bo‘ladi.