Ўзбекистон республикаси

3-ta’rif. A va B to‘plamlardan aqalli bittasiga tegishli bo‘lgan elementlarning C to‘plamini A va B to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deyiladi va C=AÈ B (C=A+B) ko‘rinishda belgilanadi, A va B to‘plamlarni qo‘shiluvchi to‘plamlar. C esa yig‘indi to‘plam deyiladi.

7-misol. A={1,3,5} va B={2,3,4} bo‘lsa A È B={1,2,3,4,5} bo‘ladi.

Qo‘shiluvchi to‘plamlar soni ixtiyoriy bo‘lganda ham birlashma (yig‘indi) yuqoridagi kabi aniqlanadi va quyidagicha belgilanadi:



4-ta’rif. Bir vaqtda ham A to‘plamga, ham B to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlarning C to‘plami A va B to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va C=A Ç B (C = A× B) ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlar ko‘paytuvchi to‘plamlar, C ko‘paytma (kesishma) to‘plam deyiladi.

To‘plamlar soni har qanday bo‘lganda ham ularning kesishmasi orqali belgilanadi.

8-misol. A=(-¥;7] va B=[1;+¥) to‘plamlarning kesishmasini toping. AÇ B = [1;7].

9-misol. A - 3 ga karrali bo‘lgan natural sonlar to‘plami B 4 soniga karrali bo‘lgan natural sonlar to‘plami bo‘lsa, A Ç B ni toping. AÇ B - 12 karrali bo‘lgan sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.

To‘plamlar ustidagi asosiy amallar quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:

1. 
   A È B = B È A, A Ç B = B Ç A - kommutativlik xossasi
   
2. 
   AÈ (B È C)=(A È B) È C, A Ç (BÇ C)=(A Ç B) Ç C - assotsiativlik xossasi
   
3. 
   (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇV)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC) - distributivlik xossasi
   
4. 
   AÈA=A AÇA=A ; BÌ A bo‘lsa, AÈB=A, AÇB.
   

Aytaylik B to‘plam A to‘plamning qism to‘plami bo‘lsin. B to‘plamga tegishli bo‘lmagan A to‘plamning barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plam B ni A ga qadar to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va uni C_AB (B_A) ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni C_AB=A\B.

A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plamni A to‘plamdan B to‘plamning ayirmasi deyiladi va C=A\B (yoki C=A-B) ko‘rinishda belgilanadi.

A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ushbu (A\B) È (B\A) to‘plamga aytiladi va A_D B=(A\B) È (B\A) ko‘rinishda belgilanadi.

Bundan keyingi mulohazalarda qaralayotgan to‘plamlar tayin bir to‘plamning qism to‘plamlari deb faraz qilinadi. Bunday to‘plamni biz universal to‘plam deb ataymiz va uni X harfi bilan belgilaymiz. Umuman aytganda, har bir qaralayotgan masala uchun o‘zining universal to‘plami bo‘ladi.

X ixtiyoriy universal to‘plam bo‘lib, A uning biror qism to‘plami bo‘lsin (AÌX). X to‘plamning A to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plam A ning X ga qadar to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va uni C_xA (yoki CA, ) ko‘rinishda belgilanadi.

Agar A ÌX va BÌ X bo‘lsa, C_x (A È B) = C_x A Ç C_x B va

C_x (AÇB) = C_xAÈC_xB ayniyatlar o‘rinli. Bu ayniyatlarni ikkilik qonunlari deb ataladi.

10-misol. Agar A={1,2,3,4,5}, B={0,2,4,6,8} bo‘lsa, u holda A\B={1,3,5} , B\A = {0,6,8} bo‘ladi.

11-misol. Agar A= {1,2,3,5,7,10}, B={2,4,6,8,10} bo‘lsa, u holda ADB={1,3,4,5,6,7,8} bo‘ladi.

To‘plamlar ustida amallarning Eyler-Venn diagrammalaridagi tasvirlari chizmada berilgan.

Х



B X

A B

A É B A È B A Ç B


12-Misol. Ko‘paytirish amalining ayirish amaliga nisbatan distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni

(A\B)ÇC=(AÇC)\(BÇC) (1)

Yechish: xÎ (A\B) Ç C ixtiyoriy element bo‘lsin, bundan xÎ (A\B) va xÎC. xÎ A\B bo‘lgani uchun ayirish amalining ta’rifiga ko‘ra xÎ A va xÏ B. Shunday qilib xÎ A, xÎ C demak, xÎ AÇC, ammo xÏ BÇC. Oxirgi munosabatlardan xÎ (AÇC)\(BÇC), demak

(A\B)ÇCÌ (AÇC)\(BÇC). (2)

Endi

(A\B)ÇC É (AÇC)\(BÇC) (3)

ekanligini ko‘rsatamiz. yÎ (AÇC) \ (BÇC) ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda yÎAÇC va yÏ BÇC bundan yÎ A, yÎ C va yÏB, demak, yÎ (A\B)ÇC shu bilan (3) munosabatni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi.

13-misol. AÇ(B\C)=(AÇB)\C munosabatni Eyler-Venn diagrammalari yordamida isbotlang.

Berilgan munosabatning chap va o‘ng tomonida turgan to‘plamlarni Eyler-Venn diagrammalardagi tasviri chizmada berilgan.