6-ma’ruza: Birinchi tur sirt integrali. Ikkinchi tur sirt integrali. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog`lanish. Reja

6-ma’ruza: Birinchi tur sirt integrali. Ikkinchi tur sirt integrali. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog`lanish.
Reja:

1. 
   Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi.
   
2. 
   Ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisob­lash.
   
3. 
   Ikkinchi tur egri chiziqli integralning ba’zi tadbiq­lari.
   

1⁰. Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. Tekis­likda (sodda) uzunlikka ega bo‘lgan egri chiziqni qaraylik (48-chizma)



48-chizma
Bu egri chiziqning biror

bo‘laklashini olamiz. Natijada egri chiziq

bo‘lakchalarga ajraladi. ning va koordinatalar o‘qlardagi proeksiyalari mos ravishda va bo‘lsin:

Aytaylik, egri chiziqda funksiya berilgan bo‘lsin. Har bir da ixtiyoriy nuqtalarni olib, so‘ng bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni va larga ko‘paytirib, quyidagi

yig‘indilarni hosil qilamiz. Bu yig‘indilar funksiyaga bog‘liq bo‘lishi bilan birga egri chiziqni bo‘laklashga hamda har bir da olingan nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi.
1-ta’rif. Agar olinganda ham shunday son topilsaki, egri chiiqning diametri bo‘lgan har qanday bo‘lak­lash uchun tuzilgan yig‘indi ixtiyoriy nuqtalarda

tengsizlik bajarilsa, funksiya egri chiziq bo‘yicha
integ­ral­lanuvchi, son ( son) esa funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi. U

kabi belgilanadi. Demak,

Keltirilgan ta’rifdan quyidagi kelib chiqadi:
1) funksiyaning egri chiziq bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali ikkita bo‘ladi:
.
Aytaylik, egri chizig‘ida va funksiyalar beril­gan bo‘lib, lar esa ularning ikkinchi tur egri chi­ziq­li integrallari bo‘lsin. Ushbu

yig‘indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko‘rinishi deyiladi va

kabi belgilanadi:
.
2) funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integral­lari egri chiziqning yo‘nalishiga bog‘liq bo‘lib,
,

bo‘ladi.
3) Agar egri chiziq koordinatalar o‘qiga ( kordi­na­talar o‘qiga) perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq kesmadan iborat bo‘lsa

bo‘ladi.
Aytaylik, sodda yopiq egri chiziq bo‘lsin. Bu holda
va nuqtalar ustma-ust tushadi. (49-chizma)

49-chizma
Yopiq egri chiziq da chizmada ko‘rsatilganidek ikki yo‘nalish bo‘lib, ular­dan biri musbat ikkinchisi esa manfiy bo‘ladi.
Agar kuzatuvchi chiziq bo‘yicha xarakatlanganda bilan chegara­lan­gan to‘plam har doim chap tomonda qolsa bunday yo‘nalish musbat bo‘ladi, aks holda esa manfiy bo‘ladi.
Shu egri chiziqda funksiya berilgan bo‘lsin. chiziqda ixtiyo­riy ikki va nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalar egri chiziqni ikkita va egri chiziqlarga ajratadi.
Faraz qilaylik, quyidagi

integrallari mavjud bo‘lsin. Ushbu

yig‘indi, funksiyaning yopiq egri chiziq bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziq­li integrali deyiladi. Uni

yoki

kabi belgilanadi. Bu holda yopiq chiziqning musbat yo‘nalishi olinadi. Demak,
.
Xuddi shunga o‘xshash

hamda umumiy holda

integrallar ta’riflanadi.
Aytaylik, fazodagi uzunlikka ega bo‘lgan sodda egri chiziq bo‘lib, bu egri chiziqda funksiya berilgan bo‘lsin. Yuqoridagidek funksiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari ta’riflanadi va ular quyidagicha belgilanadi:

.