8-Ma’ruza mashg’ulot. Parametr kiritish usuli, to’liq bơlmagan differensial tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari

8-Ma’ruza mashg’ulot.
Parametr kiritish usuli, to’liq bơlmagan differensial tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari

Mashg’ulot rejasi: 1.Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglama. 2.Yechim, umumiy yechim, parametrik yechim, umumiy integral, maxsus yechim. 3. Parametr kiritish usuli. 4. Lagranj va Klero tenglamalari.

Asosiy tushuncha va atamalar: Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglama, umumiy yechim, parametrik yechim, umumiy integral, maxsus yechim, parametr kiritish usuli

Parametr kiritish usuli, to’liq bơlmagan differensial tenglamalar

Hosilaga nisbatan yechilmagan

(1)
differensial tenglamaning integrallashdagi asosiy masala uni hosilaga nisbatan yechishdan iboratdir. Agar  ni fazodagi dekart koordinatalari deb qarasak (1) tenglama fazoda biror sirtni aniqlaydi.
Ma’lumki, fazodagi sirt nuqtalarini ikkita O’zgaruvchilarini funksiyasi shaklida ifodalash mumkin:
(2)
(1) va (2) tenglamalar o’zaro ekvivalentdir.
Ma’lumki

Bunga qiymatlarni (2) dan keltirib qo’ysak

Agar bunda ni argument uchun, ni funkiya uchun qabul qilsak, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin.

Bu esa hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamadir. Faraz etaylik bu tenglamaning umumiy yechimi

bo’lsin.
U holda (2) ga asosan (1) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi.
Tenglamani yechishda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.

1. 
   ol. (1) tenglamani ga nisbatan yechish osonroq bo’lsin.
   

(4)
Bu tenglamani har ikkala tomoni  ga nisbatan differensiallaymiz.
(5)
Bu tenglama,  va  ga nisbatan birinchi tartibli differensial tenglamadir.
Agar bu tenglamaning umumiy yechimi bo’lsa, u holda tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.