AZƏrbaycan respublikasi təHSİl naziRLİYİ MİNGƏÇEVİr döVLƏt universiteti faküLTƏ

AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI TƏHSİL NAZİRLİYİ

MİNGƏÇEVİR DÖVLƏT UNİVERSİTETİ

FAKÜLTƏ: 01. PEDAQOJİ

KAFEDRA: 01.2. RİYAZİYYAT

İXTİSAS: 060105 KURS: II QRUP: R17

FƏNN : Həndəsə

KURS İŞİ

TƏLƏBƏ: HƏMZƏYEVA N.B

RƏHBƏR: dos.HÜMMƏTOV. M. M

MİNGƏÇEVİR 2018

Giriş

Həndəsənin və riyaziyyatın əsas anlayışlarindan biri də vektorial hasildir Qeyd edək ki, vektorial hasil actual mövzu olub onun araşdırılması məqsədə uyğundur. Əvvəlcə vektorlar üçlüyü tapılıb vektorlar üçlüyünün orientasiyası qurulub. Mexanikada işlədilən vektorial hasil mövzusu haqqında geniş məlumat verilmişdir. Sonuncu mərhələdə vektorial hasilin əsas xassələri göstərilmiş və isbat olunmuşdur .

Kurs işinin sonuncu mərhələsində vektorial hasilin kooordinatlarının tapılması tələb edilmişdir. Vektorial hasilə aid bir sıra məsələlər həll edilmişdir.

1. 
   Vektorlar üçlüyünün orientasiyası
   

Müəyyən ardıcıllıqla, komplanar olmayan üç vektorun verildiyini fərz edək.

a birinci vector

b ikinci vector

c üçüncü vector

olsun.

Belə üç vector heyətini vektorlar üçlüyü adlandıracağıq. Verilən vektorları bir nöqtəyə köçürsək, şəkildə gördüyümüz iki vəziyyətdən biri alınar.

I şəkildə gördüyümüz vəziyyət belədir :

c vektorunun ucundan a və b vektorlarına baxdıqda, a vektorunu b vektoru üzərinə düşürmək üçün, kiçik bucaq qədər fırlanma saat əqrəbi hərəkətinin əksinədir.

c

b

a

Şəkil 1

II şəkildə isə c vektorunun ucundan a və b vektorlarına baxdıqda a – nı b – in üzərinə düşürmək üçün, kiçik bucaq qədər fırlanma saat əqrəbinin hərəkətinin istiqamətindədir.

c

a

b

Şəkil 2

Aşkardır ki, vektorlar üçlüyü verildikdə, ancaq bu iki vəziyyətin biri ola bilər, üçüncü vəziyyətin olması mümkün deyil. Bu iki vəziyyətin hər birini bu vektorların orientasiyası adlandıraq. Bunlardan 1 – ci şəkildə gördüyümüz sağ orientasiya, 2 – ci şəkildə gördüyümüz isə sol orientasiya adlanır. Məsələn, koordinat oxlarının 3 – cü şəkildəki orienatasiyası sol orientasiyadır, 4 – cü şəkildəki orientasiya isə sağ orientasiyadır.

k k

i j

j i

Şəkil 3 Şəkil 4

Bəzi təkliflər verək. Bu təkliflərin doğruluğu aşkardır.

1) Üçlüyün iki vektorunu sabit saxlayıb, üçüncüsünü ortaq başlanğıc nöqtəsi ətrafında fırladaq. Bu vaxt fırlanan vector digər iki vector müstəvisindən bir tərəfdə qalırsa, üçlüyün orientasiyası dəyişmir, fırlanaraq müstəvinin digər tərəfinə keçirsə, üçlüyün orientasiyası dəyişir. Xüsusi halda, a, b, c və a, b – c müxtəlif orientasiyalı üçlüklərdir.

2) Üçlüyə daxil olan vektorların dairəvi yerdəyişməsində orientasiya dəyişməz. Məsələn, 1 – ci yaxud 2 – ci şəkildə 1 – ci vector a, 2 – ci b, 3 – cü c olduğunu nəzərdə tutmuşduq, yəni üçlüyün verilişi tərtibi a. b, c idi, indi 1 – ci vektoru b, 2 – ci vektoru c, 3 – cünü a götürsək, b, c, a üçlüyünü alırıq. a, b, c tərtibindən b, c, a tərtibinə keçmə üç vektorun dairəvi yerdəyişməsi adlanır.

Hər iki üçlüyün eyni orientasiyalı olduğunu yoxlamaq çətin deyil.

3) Vektorlar üzərində dairəvi olmayan hər hansı başqa yerdəyişmə üçlüyün orientasiyasını dəyişər. Məsələn, a, b, c üçlüyündə a və b vektorlarının yerlərini dəyişsək, b, a, c üçlüyünü alırıq, bu yerdəyişmə dairəvi deyil. Bu üçlüklərin müxtəlif orientasiyalı olduğunu yoxlamaq çətin deyil :

4) Üçlüyün müstəvi güzgüdə əksi müxtəlif orientasiyalı üçlük olar.

3 – cü və 4 – cü şəkillərdə gördüyümüz üçlüklərin vektorları ortlardır və hər biri qalanlarına perpendikulyardır; bununla bərabər bu üçlükləri üst – üstə düşürmək mümkün deyil. Doğrudan da, bu üçlüyün birini sabit saxlayıb, digərini fırladaraq elə qoymaq olar ki, başlanğıcları və vektorlarından ikisi, məsələn, I və j üst – üstə düşər, bu halda üçlüklərin üçüncü vektorları üst – üstə düşməyəcək. Bunlar əks istiqamətli olacaqdır.

2. 
   Vektorial hasil
   

Mexanikada məlum olan bir anlayışı, verilən F qüvvəsinin verilən O nöqtəsinə görə moment anlayışını nəzərdən keçirək.

F

r

O R

Şəkil 5

A nööqtəsinə tətbiq olunan F qüvvəsinin moment elə M vektoruna deyilir ki, onun uzunluğu, OA = r və F vektorları üzərində qurulan paraleloqramın sahəsinə bərabər və bu M vektorunun istiqaməti isə r və F vektorları müstəvisinə perpendikulyar olsun (Şəkil 5).

Mexanikada, fizikada və riyaziyyatda belə məsələlərə çox təsadüf olunur, belə ki, r və F kimi iki vector verilir və gördüyümüz qayda ilə bunlara üçüncü bir M vektoru uyğun tutulur. Bu əməliyyatı verilən r və F vektorlarının vektorial vurulması, M vektorunu isə bunların vektorial hasili adlandırırlar.

Vektorial hasilin daha dəqiq tərifini verək.

Tərif. Kollinear olmayan iki, a (birinci) və b (ikinci) vektorlarının vektorial hasili elə üçüncü c vektoruna deyilir ki, həmin veltor aşağıdakı şərtləri ödəsin.

1) c vektorunun uzunluğu a və b vektorları uzunluqları ilə bunların aralarındakı

bucaq sinusun hasilinə bərabər olsun.

2) c vektoru a və b vektorların müstəvisinıə perpendikulyar olmaqla elə yönəldilmiş olsun ki, a, b,c üçlüyünün orientasiyası sağ orientasiya olsun (şəkil 6) .

c

b

a

Şəkil 6

a və b vektorlarının vektorial hasilini [a, b] , [a, b] və ya a X b ilə işarə etməyi şərtləşək. Tərifin 1 – ci maddəsinə əsasən,

Əlavə olaraq, a və b kollinear olduqda, bunların vektorial hasilinin sıfır – vektor olduğunu şərtləşək. Bu şərtləşməyə əsasən,

olar.

3. 
   Vektorial hasilin əsas xassələri
   

1) Vektorial vurmada kommutativlik qanunu yoxdur. Doğrudanda, tərifə əsasən və hasillərini qursaq, bunların eyni olmadığını görərik :

2) Yuxarıda söylədiyimizdən görünür ki, vektorial hasilin sıfır – vektor olması, ancaq aşağıdakı hallarda ola bilər : verilən vektorlardan heç olmazsa, biri sıfır – vektor olduqda; əgər belə deyilsə, verilən vektorlar kollinear olduqda. Başqa hallarda vektorial hasil sıfır – vektor ola bilməz. Sıfır – vektorun istiqaməti qeyri – müəyyən olduğu üçün, onu hər bir vektorla kollinear hesab etmək olar. Bunu nəzərə alaraq belə bir təklif söyləyə bilərik :

Vektorial hasilin sıfır – vektor olması vuruq – vektorların kollinear olması üçün zəruri və kafi şərtdir, yəni

şərti

şərti ilə ekvivalentdir.

3)

Bu xassəni belə söyləmək olar :

λ ədədini vektorial hasilə vurmaq istədikdə həmin λ ədədini vektorlardan birinə vurmaq, yaxud vektorial vurmada vuruq vektorların hər hansı birinin ədədi əmsalını vektorial vurma simvolunun xaricinə çıxarmaq olar.

Bu təklifin isbatını verək.

λ halını götürək. İsbat etmək üçün (5) bərabərliyinin müxtəlif tərəflərində yazılan vektorlarının həm uzunluqlarının, həm də istiqamətlərinin eyni olduğunu göstərək.

Bunların uzunluqlarını götürək. Sağ tərəfdəki vektorun uzunluğu

olar.

λ fərz olunduğu üçün

λ = ( )

və

olar.

Bunu nəzərə alaraq, axırıncı bərabərliyi belə yazarıq :

yaxud

və yaxud

Deməli, və vektorlarının uzunluqlarının eyni olduğunu iosbat etdik.

Bunların istiqamətlərinə gəldikdə λa və b vektorları müstəvisi eyni zamanda a və b vektorlarının müstəvisi olduğunu nəzərə alaraq və vektorlarının kollinear olduğunu deyə bilərik.

( λ = ( )

olduğu üçün bunlar həm də eyni istiqamətlidirlər. Bununla da, təklifin λ və λ = 0 halları üçün isbatı analoji qayda ilə aparılır.

4) Vektorial vurmada distributivlik qanunu doğrudur :

Bu təklifin isbatı üçün köməkçi bir təklifi isbat edək. m vektorunu vahid vektor hesab edərək [ a m ] vektorial hasilini quraq. Bunların hər ikisinin tətbiq olunduğu O nöqtəsindən m vektoruna perpendikulyar olan R müstəvisini keçirərək, a vektorunu ortoqonal olaraq bu müstəvi üzərinə proyeksiyalayaq. a` vektorunu alırıq ki, buna a vektorunun R müstəvisi üzərində komponenti, bunun uzunluğuna isə a vektorunun R müstəvisi üzərində proyeksiyası deyilir. Aydındır ki,

( ) = 90⁰ – ( )

olar və buna görə də

alarıq. Proyeksiyalar nəzəriyyəsindən məlum teoremə əsasən,

İndi a` vektorunu R müstəvisi üzərində 90⁰ fırladaraq a`` vektorunu alaq. Bu fırlanmanı iki müxtəlif istiqamətin birində elə aparaq ki, a`` vektorunu aldıqdan sonra, a, m, a`` üçlüyünün orientasiyası sağ orientasiya olsun. Bilavasitə yoxlamaqla a`` vektorunun [am] olduğunu görmək çətin deyil.

m

a

0

a`` 90⁰ a`

Şəkil 7

Bu qayda ilə [a + b, m ] hasilini quraq. (a+b) `` vektorunu alırıq ki, bu da [a + b, m ] vektoruna bərabər olar. (a+b) vektoru a və b vektorlarının cəmi olduğu üçün, bu vektorlar üzərində qurulan paraleloqramın diaqonalıdır. Bu paraleloqramı R müstəvisi üzərinə proyeksiyaladıqda yenə paraleloqram alacağımız aydındır. Deməli, (a+b) vektorunun komponenti olan (a+b) ` vektoru a` və b` vektorlarının cəmidir, yəni (a+b)` = a` + b`. Həm a`, həm b`, həm də (a+b)` vektorlarını eyni istiqamətdə 90<sup>0</sup> fırladaraq, tərəfləri a``, b`` və diaqonalı (a+b)`` olan bir paraleloqram alarıq. Buna görə də

(a+b)`` = a`` + b`` (10)

yaza bilərik. Deməli,

a`` = [a , m ]

b`` = [a , m ]

(a+b)`` = [a + b, m ]

Bu qiymətləri (10 ) bərabərliyində yerinə yazsaq :

[a + b, m ] = [a, m ] + [ b, m ] (11)

Alarıq. (11) köməkçi təklifini isbat etdikdən sonra, təklifin ümumi şəkildə isbatını vermək asandır.

c vektorunun ortunu c₀ ilə işarə etsək,

yaza bilərik.

[a + b, c ] = [a + b, |c| c₀ ]

yazarıq, ədədini vurma simvolunun xaricinə çıxarsaq,

[a + b, c ] = |c| [a + b, c₀ ]

alarıq. İndi, c₀ vahid – vector olduğu üçün (11) bərabərliyinə əsasən,

[a + b, c ] = |c|

yaza bilərik. Buradan

[a + b, c ] = |c| =

alarıq ki, bununla da təklif isbat olunur.

4.