Geometriya 7 toshkent œyangiyo4l poligraf servisb

GEOMETRIYA
7
TOSHKENT
œYANGIYO4L  POLIGRAF  SERVISB
2017
Umumiy o4rta ta’lim maktablarining
7-sinfi uchun darslik
Tuzatilgan va to4ldirilgan uchinchi nashr
O4zbekiston Respublikasi
Xalq ta’limi vazirligi tasdiqlagan

MUNDARIJA
 I 
bob. 
Boshlang4ich geometrik ma’lumotlar. Planimetriya
1.
  Geometriya fani va predmeti. Geometriya fanining vazifalari ...................6 
2.
  Eng sodda geometrik shakllar: nuqta, to4g4ri chiziq va tekislik ..................8
3.
  Kesma va nur .............................................................................................10
4.
 Kesmalarni taqqoslash 
...............................................................................12
5.
  Kesmaning uzunligi va uning xossalari ......................................................14
6.
 Kesmalarni o4lchash 
...................................................................................16
7.
  Aylana va doira ..........................................................................................18
8.
 Amaliy mashg4ulot 
.....................................................................................20
9. 
Bob bo4yicha  takrorlash  .............................................................................22
10. 
1-nazorat ishi .............................................................................................24
 
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha  materiallar  ...........25
II bob. Burchak
11.
 Burchak. Burchaklarni taqqoslash ..............................................................28
12.
 Burchaklarni o4lchash. Transportir.............................................................30
13.
 Burchak turlari: to4g4ri, o4tkir va o4tmas burchaklar. Bissektrisa  ...............32
14.
 Qo4shni va vertikal burchaklar hamda ularning xossalari ...........................34
15.
 Geometriyani o4rganishda fikrlar ketma-ketligi va bog4liqligi ....................36
16.
 Perpendikulyar to4g4ri chiziqlar ..................................................................38
17. 
Teskarisini faraz qilib isbotlash usuli ..........................................................40
18.
 Amaliy mashg4ulot .....................................................................................42
19. 
Bob bo4yicha  takrorlash  .............................................................................44
20. 
2-nazorat ishi .............................................................................................46 
 
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha  materiallar  ...........48
III bob. Ko4pburchaklar va uchburchaklar 
21.
 Siniq chiziq. Ko4pburchak .........................................................................52
22.
 Uchburchak. Uchburchaklarning turlari ....................................................54
23.
 Uchburchakning muhim elementlari:
     mediana, balandlik va bissektrisa ...............................................................56
24.
 Uchburchaklar tengligining birinchi
     (TBT # tomon-burchak-tomon) alomati ...................................................58
25.
 Teng yonli uchburchakning xossalari .........................................................60
26.
 Uchburchaklar tengligining ikkinchi
     (BTB # burchak-tomon-burchak) alomati ................................................62
27.
 Uchburchaklar tengligining uchinchi
     (TTT # tomon-tomon-tomon) alomati .....................................................64
28. 
Kesma o4rta perpendikulyarining xossasi ...................................................66
29.
 Amaliy mashg4ulot .....................................................................................68
30.
 Bob bo4yicha  takrorlash  .............................................................................70
31. 
3-nazorat ishi .............................................................................................73
 
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha  materiallar  ...........75

IV bob. Parallel to4g4ri chiziqlar
32.
 To4g4ri chiziqlarning parallelligi ................................................................. 78
33. 
Ikki to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan burchaklar ............................... 80
34.
 Ikki to4g4ri chiziqning parallellik alomatlari ............................................... 82
35.
 Ikki to4g4ri chiziqning parallellik alomatlari (davomi) ................................ 84
36.
 Teskari teorema ......................................................................................... 86
37.
 Ikki parallel to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan burchaklar .................. 88
38.
 Masalalar yechish ....................................................................................... 90
39.
 Bob bo4yicha  takrorlash  ............................................................................. 92
40. 
4-nazorat ishi ............................................................................................. 94
V bob. Uchburchak tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar
41.
 Uchburchak ichki burchaklarining yig4indisi haqidagi teorema ................. 98
42.
 Uchburchak tashqi burchagining xossasi .................................................. 100
43. 
Masalalar yechish ..................................................................................... 102
44.
 To4g4ri burchakli uchburchakning xossalari .............................................. 104
45.
 To4g4ri burchakli uchburchaklarning tenglik alomatlari ........................... 106
46.
 Masalalar yechish ..................................................................................... 108
47.
 Burchak bissektrisasining xossasi .............................................................. 110
48.
 Uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar .......... 112
49.
 Uchburchak tengsizligi ............................................................................. 114
50. 
Bob bo4yicha  takrorlash  ........................................................................... 116
51. 
5-nazorat ishi ........................................................................................... 119
 
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha  materiallar  .........121 
VI bob. Yasashga doir masalalar
52.
 Sirkul va chizg4ich yordamida yasashga doir masalalar ............................ 124
53.
 Qiziqarli masala va boshqotirmalar .......................................................... 126
54.
 Berilgan burchakka teng burchakni yasash ............................................... 128
55.
 Burchak bissektrisasini yasash .................................................................. 130
56.
 Berilgan to4g4ri chiziqqa perpendikulyar to4g4ri chiziq yasash.
 
Kesmani teng ikkiga bo4lish ..................................................................... 132
57.
 Uchburchakni berilgan uch tomoniga ko4ra yasash.................................. 134
58.
 Masalalar yechish ..................................................................................... 136
59.
 Bob bo4yicha  takrorlash  ........................................................................... 138
60. 
6-nazorat ishi ........................................................................................... 140
 
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha  materiallar  .........141
 
Matematik  masalalar  xazinasi  ................................................................142
VII bob. Takrorlash
61. 
Geometrik masalalarni yechish bosqichlari .............................................. 144
62. 
Hisoblashga doir masalalar....................................................................... 146
63. 
Isbotlashga doir masalalar ........................................................................ 148
64-65. 
Takrorlashga doir topshiriq va  masalalar ............................................ 150
66-68. 
Yakuniy nazorat ishi va  xatolar  ustida  ishlash  ................................... 154
 
Javoblar va ko4rsatmalar ........................................................................... 156

I BOB
BOSHLANG‘ICH 
GEOMETRIK 
MA’LUMOTLAR.
PLANIMETRIYA
1
3
6
90
240
120
120
240
240
60
40
7
5
2
4
1
2
3
4
5
6
7

6
Geometriyaga oid dastlabki tushunchalar 
bundan 4#5 ming yil muqaddam qadimgi Misrda 
paydo bo4lgan. O4sha kezlarda Nil daryosining suvi 
har yili toshib, ekin maydonlarini yuvib turgan. 
Shuning uchun, ekinzorlarni qayta taqsimlash va 
soliq miqdorini aniqlash uchun bu maydonlarda 
belgilash va o4lchash ishlarini bajarishga to4g4ri 
kelgan (1-rasm). Qadimgi yunon olimlari yer 
o4lchash usullarini misrliklardan o4rganib, uni 
geometriya deb ataganlar. 
œGeometriyaB
 yunon-
cha so4z bo4lib, œgeoB # yer, œmetrioB # o4lchash 
degan ma’noni anglatuvchi qismlardan tuzilgan.
Mil. avv. VII#VI asrlarda Qadimgi Xorazmda 
ham Misrdagi kabi Amudaryoning quyi qismida 
yer o4lchash ishlari bajarilgan.
Geometriyaga oid dastlabki tushunchalar 
Qadimgi Bobilda ham bo4lgan. Xususan, tarix-
chilar Pifagor teoremasi Bobilda topilgan deb 
hisoblashadi.  
Qadimgi yunon olimi Evklid o4sha paytgacha 
ma’lum bo4lgan barcha geometrik tushuncha 
va xossalarni tartibga keltirib, 
œNegizlarB
 deb 
nomlangan kitobida bayon etdi. Bu kitob ikki 
ming yil mobaynida maktablar uchun eng muhim 
darslik vazifasini o4tadi va fan taraqqiyotida ulkan 
ahamiyatga ega bo4ldi. Geometriyani o4qitish hozir 
ham ana shu kitobdagi g4oyalarga tayanadi.
O4tmishda yashab o4tgan olimlarning ko4pchi-
ligi geo 
metriya bilan shug4ullanganlar. Buyuk 
vatandoshlarimiz Muhammad ibn Muso al-
Xorazmiy, Ahmad Farg4oniy, Abu Rayhon 
Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Ulug4bek ham
 
Evklid 
œNegizlarBini puxta o4rganib, bu fan rivojiga 
o4z hissasini qo4shganlar. Sharq mamlakatlarida 
geometriya injenerlik bilan qo4shib 
handasa
 deb 
atalgan va unga katta ahamiyat berilgan. Hozir 
œinjenerB so4zi muhandis deyilishi ham shundan.
Bizni o4rab turgan har bir predmet qandaydir 
shaklga ega. Masalan, g4isht yoki karton qutini  
olaylik. Ular 5-sinfdan sizga tanish bo4lgan to4g4ri 
burchakli parallelepiped shaklidadir (2-rasm). 
kvadrat
uchburchak
1
2
3
4
5
nuqta
to4g4ri chiziq
kesma
burchak
kub
shar
GEOMETRIYA FANI VA PREDMETI. 
GEOMETRIYA FANINING VAZIFALARI
1
6

7
Geometriya
 # geometrik shakllar va ular-
ning xossalari haqidagi fan.
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Geometriyaga oid dastlabki ma’lumotlar qayerda va qanday paydo bo4lgan?
2.  Geometriya so4zining ma’nosi nima va nima uchun u shu nom bilan atalgan?
3.  Geometriyaning rivojiga hissa qo4shgan qaysi olimlarni bilasiz?
4.  6-rasmda tasvirlangan Xiva shahridagi Ko4k Minor obidasi qanday  geometrik 
shaklda? Minoraning sirtida qanday geometrik shakllarni ko4rish mumkin?
5.  Geometriya fani nimani o4rganadi?
6.  Planimetriya geometriyaning qanday bo4limi? Stereometriya-chi?
7.  Stereometriyaning qanday o4ziga hos tomonlari bor?
8.  Tevarak atrofingizdan geometrik shakllarni eslatuvchi predmetlarga misollar 
keltiring va ularni daftaringizga chizing.
9.  3-5-rasmlarda tasvirlangan shakllarning qaysi xususiyatlariga qarab guruhlarga 
ajratish mumkin? Bu xususiyatlar qanday?
10. Planimetriya 3-5-rasmlardagi  shakllardan qaysilarining xossalarini o4rganadi?
Planimetriya
 # geometriyaning tekislik   da  -
gi geometrik shakllarning xossala 
rini o4r-
ganuvchi bo4limi.
6
Parallelepipedning 8 ta uchi bor # bular nuqtalar, 
12 ta qirrasi bor # bular kesmalar, 6 ta yog4i bor 
# bular to4g4ri to4rtburchaklar. 
Nuqta, to4g4ri chiziq, kesma, burchak, uch-
burchak, kvadrat, aylana, kub, shar kabi qator 
geometrik shakllar bilan siz quyi sinflarda tanish-
gansiz (3-5-rasmlar). 
3-5-rasmlarda tasvirlangan shakllar turli 
j ismlarning geometrik timsolidan iborat.
 Jism larni 
geometrik nuqtai na zardan o4rganishda ularning 
faqat shaklini ino batga olamiz.
Biz nuqta, kesma, burchak, uchburchak kabi 
yassi shakllarni daftar varag4iga chiza olamiz. Kub, 
piramida, shar kabi fazoviy geometrik shakllarni 
esa to4liq chiza olmaymiz, ammo ularning 
ko4rinishini qog4ozda tasvirlashimiz mumkin.
Planimetriya
 geometriyaning bo4limi bo4lib, 
u bir tekislikda joylashgan geo metrik shakllar-
ning xossalarini o4rganadi. Fazoviy shakllarning 
xossalarini esa geometriyaning 
stereometriya
 deb 
ataladigan bo4limi o4rganadi. Biz geometriyani 
o4rganishni planimetriyadan boshlaymiz.
Evklid 
(Miloddan avvalgi III asr)
Qadimgi yunon olimi, geo-
metriya fani shakllanishida 
katta o‘rin tutgan – “Negiz-
lar” asari bilan mashhur.
7

8
Nuqta, to4g4ri chiziq va tekislik
 # geometri-
yaning eng asosiy tushunchalari. Geomet 
riya 
fanining dastlabki tushunchalari bo4lgani uchun 
ularga ta’rif berilmaydi. Shu bilan birga ular 
boshqa tushunchalarni kiri tish uchun poydevor 
vazifasini o4taydi.
Qalam uchini qog4ozga, bo4rni doskaga 
tegizganda qolgan iz yoki osmondagi yulduzlarni 
(1-rasm) olib qaraydigan bo4lsak, ular ko4zimizga 
shu qadar kichik ko4rinadiki, ularning o4lchamlarini 
hisobga olmasa ham bo4ladi. 
Nuqta
 # ana shun-
day, o4lchamlarini hisobga olmasa bo4ladigan 
juda kichik narsalarning geometrik timsoli. Evklid 
œNegizlarB deb nomlangan asarida nuqtani hech 
bir qismga ega bo4lmagan shakl sifatida ta’riflagan.
Avtomobil yo4li bo4ylab tortilgan chiziqlar 
(2-rasm), ustunlar orasida tarang tortilgan ip, 
os monga qarab yo4naltirilgan
 
yoritqich
 
nuri     
(3-rasm), qog4ozning cheti kabi shakllarning
 
geo-
met rik timsoli # 
to4g4ri chiziq
 
to4g4risida tasav-
vur beradi. Yorug4lik nuri to4g4ri chiziq bo4ylab 
tarqaladi. Aslida to4g4ri chiziq cheksiz shakldir. 
Biz uni qog4oz, sinf doskasida tasvirlaganda, ki-
chik bo4lagini  chizish bilan cheklanamiz. Biroq 
to4g4 ri chiziqni doim har ikki tomonga chek siz 
davom etgan deb tasavvur qilish kerak.  
Pol, stolning ustki qismi, devor, shift, 
daftar varag4i, sokin ko4ldagi suv sathi (3-rasm) 
kabilarning geometrik timsoli 
tekislik
 bo4ladi.
Masalan,  4-rasmda 
A
  nuqta 
c
  to4g4ri chiziqqa tegishli, 
B
1
  va 
B
2
 nuqtalar 
          
c
 to4g4ri chiziqqa tegishli emas. Bu qisqacha 
A

c
 va 
B
1

c
, 
B
2

c
 tarzida yoziladi. 
Bu yozuv bunday o4qiladi: œ
A 
nuqta 
c 
to4g4ri chiziqqa tegishli, 
B
1
 va 
B
2
 nuqtalar 
c
 to4g4ri chiziqqa tegishli emasB. Bu ifodani qisqartirib, œ
A 
tegishli 
c 
ga, 
B
1
 va 
B
2 
tegishli emas 
c
 gaB deyish mumkin.
B
1
B
2
A
c
A
, 
B
1
,
 B
2
 O nuqtalar
c
 O to4g4ri chiziq
A
c, B
1
c, B
2
c
Tekislikda qanday to4g4ri chiziq olinmasin, bu to4g4ri chiziqqa tegishli bo4lgan 
nuqtalar ham, tegishli bo4lmagan nuqtalar ham mavjud.
ENG SODDA GEOMETRIK SHAKLLAR:
NUQTA, TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIK
1
2
3
4
2
Nuqtalar katta lotin harflari 
A, B, C, D,
 ..., to4g4ri chiziqlar esa kichik lotin 
harflari 
a, b, c, d,
 ... bilan belgilanadi va  œ
A
 nuqtaB, œ
a
 to4g4ri chiziqB tarzida 
o4qiladi (4-rasm).
8

9
b
 va 
c
 # har xil to4g4ri chiziqlar bo4lsin. Agar 
O
 nuqta 
b
 to4g4ri chiziqqa ham, 
c
 to4g4ri chiziqqa 
ham tegishli bo4lsa, 
b
 va 
c
 to4g4ri chiziqlar 
O
 
nuqtada kesishadi (5-rasm). Bunda 
O
 nuqta 
b
 va 
c
 to4g4ri chiziqlarning kesishish nuqtasi deyiladi.
6-rasmda 
A
 nuqta ham, 
B
 nuqta ham 
c
 to4g4ri 
chiziqqa tegishli. Bunday holda, odatda œ
c
 
to4g4ri 
chiziq 
A
 
va 
B
 nuqtalardan o4tadiB deb aytiladi.
6
O
 nuqta O 
b
 va 
c
 to4g4ri chi-
ziqlarning kesishish nuqtasi.
O
b
c
A
C
D
F
E
B
AB
 O to4g4ri chiziq
yarimtekislik
yarimtekislik
c
Har bir to4g4ri chiziq tekislikni ikki bo4lak ka: ikkita yarimtekislikka ajratadi.
Har qanday ikki nuqtadan faqat bitta to4g4-
ri chiziq o4tadi.
Bu xossaga ko4ra, to4g4ri chiziqning ikkita 
nuq  ta si ko4rsatilsa, bu to4g4ri chiziq aniqlangan 
bo4ladi. Shuning uchun to4g4ri chiziqni unda yot-
gan ikki nuq ta yordamida ham belgilash mumkin. 
6-rasm da 
AB 
to4g4ri chiziq tasvirlangan.
To4g4ri chiziqning o4zi yarimtekisliklarning har ikkalasiga ham tegishli deb 
hisoblanadi. U o4zi ajratgan yarimtekisliklarning umumiy chegarasi bo4ladi. 
6-rasmda 
c
 to4g4ri chiziq tekislikni ikkita yarimtekislikka ajratishi tasvirlangan.
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Geometriyaning asosiy tushunchalarini ayting. Ular qanday belgilanadi?
2.  Nuqta, to4g4ri chiziq va tekislikni siz qanday tasavvur qilasiz?
3.  Ifodalarni o4qing, izohlang va chizing: a) 
A

b
; b) 
C

b
; 
C

AB
.
4. 
A
 va 
B
 nuqtalar 
d
 to4g4ri chiziqqa tegishli, 
C
 nuqta esa 
d
  to4g4ri chiziqqa 
tegishli emas. 
AB
 va 
AC
  to4g4ri chiziqlar haqida nima deyish mumkin?
5. 
AB
 va 
AK
 to4g4ri chiziqlar nechta umumiy nuqtaga ega bo4lishi mumkin?
6. 
c
 to4g4ri chiziq chizing va unda 
A
 nuqtani belgilang. 
c
 to4g4ri chiziqdan farqli 
AB
 to4g4ri chiziqni o4tkazing. 
B
 nuqta 
c
 to4g4ri chiziqda yotadimi?
7.  a) bitta; b) ikkita; c) uchta nuqtadan o4tuvchi nechta to4g4ri chiziq o4tkazish 
mumkin? Javobingizni asoslang.
8*. Ixtiyoriy uchtasi bir to4g4ri chiziqda yotmaydigan a) uchta; b) to4rtta nuqta 
orqali shu nuqtalarni juft-jufti bilan tutashtiruvchi nechta to4g4ri chiziq 
o4tkazish mum kin?
9*. To4rtta to4g4ri chiziqning har ikkitasi kesishgan nuqtalari belgilandi. Nuqtalar 
soni ko4pi bilan nechta bo4ladi? To4g4ri chiziqlar beshta bo4lsa-chi? 
10.  Tekislikda beshta nuqtani shunday joylashtiring-ki, ularning har ikkitasi orqali 
to4g4ri chiziq o4tkazganda, to4g4ri chiziqlar beshta bo4lsin.
11. 5-rasmda nechta to4g4ri chiziq bor? Ular nechta nuqtada kesishadi?
12. 6-rasmdagi shakllar o4rtasidagi munosabatlarni belgilar yordamida yozing.
Kelishuv: 
Kelgusida ikki to4g4ri chiziq (ikki nuqta, ikki yarimtekislik, ...) deyilgan-
da har xil ikkita to4g4ri chiziq (ikkita nuqta, ikkita yarimtekislik, ...) tushuniladi.
5
9

10
2-rasmda kesma tasvirlangan. 
A
 va 
B
 nuqta-       
lar 
kesmaning uchlari
 yoki 
chetki nuqtalari
 de-
yiladi. Ular orasidagi nuqtalar esa kesmaning 
ichki 
nuqtalari
 deb yuritiladi. Kesma o4zining chetki 
nuqtalari yordamida œ
AB
 kesmaB tarzida belgilanadi. 
Xuddi shu kesmani œ
BA
 kesmaB tarzida yozish ham 
mumkin.
Tekislikda to4g4ri chiziq o4tkazilgan bo4l 
sin. U 
shu tekislikni ikkita yarimtekislikka ajratadi. Bu 
yarimtekislik lar dan bittasiga tegishli 
A, B 
nuqtalarni 
qaraylik. Bu holda 
AB 
kesma to4liq shu yarimtekislikda 
yotadi va uning chegarasini kesmaydi. Agar turli 
yarimtekisliklardan bittadan nuqta # 3-rasmda 
B
 va 
C 
olinsa, u holda 
AB 
kesma to4g4ri chiziqni albatta 
kesadi.
Kesma
 deb to4g4ri chiziqning ikki nuqtasi 
orasida yotgan nuqtalaridan iborat qismiga 
aytiladi.
Nur
 
deb to4g4ri chiziqning biror nuqtadan bir 
tomonda yotgan barcha nuqtalaridan iborat 
qismiga aytiladi.
Bir to4g4ri chiziqda olingan istalgan uchta 
nuqtadan bittasi va faqat bittasi qolgan 
ikkitasining orasida yotadi.
B
C
D
a
Agar 
a
 to4g4ri chiziqda 
B, C, D
 nuqtalar 1-rasmdagi 
kabi joylashgan bo4lsa, ularning faqat bittasi # bu 
shaklda 
C
 nuqta # qolgan ikkitasi, ya’ni 
B 
va 
D
 
nuqtalarning orasida yotadi.  
B
 va 
C
 nuqtalar 
D
 
nuqtadan bir tomonda, 
C 
va 
D
 nuqtalar esa 
B
 
nuqtadan boshqa bir tomonda yotadi. 
a
 to4g4ri chiziqda yotgan 
O
 nuqta shu to4g4ri chiziqni 
bir-birini to4ldiruvchi 
ikkita nurga
 ajratadi. 
O
 nuqta bu nurlarning 
uchi
 yoki 
bosh lang4ich nuqtasi
 deb 
ataladi. Nur uchi 
O
 va biror nuqtasi 
A
 bo4lgan nur œ
OA
 nurB tarzida yoziladi   
(4-rasm). Bunday yozuvda nurning uchi birinchi o4rinda yoziladi.
Ayrim hollarda 
OA
 nur œ
O nuqtadan chiquvchi nur
B deb ham aytiladi.
Nurni yorug4lik nurining geometrik timsoli sifatida qarash mumkin. œNurB 
atamasi shundan kelib chiqqan.
AB
 O kesma
A, B
 O kesmaning uchlari
A
B
A
B
C
OA
 O nur
O
 O nurning uchi
a
O
A
O
1
2
3
4