Verilən sayda təhrifləri aşkarlaya və düzəldə bilən

Əmənova Həmidə Elman qızı

Riyaziyyat fakültəsi, II kurs, qr. 415

Elmi rəhbər: prof. F.G.Feyziyev
Xəttİ cəbrİ tənlİklər sİstemİnİn Ən kİçİk kvadratlar

ÜSULU İLƏ ƏN YAXŞI TƏQRİBİ HƏLLİ
1. Psevdo tərs matris. Aşağıdakı matris cəbri tənliyinə baxaq

. (1)

Əgər matrisi cırlaşmayan kvadrat matris olarsa, onda bu tənliyin həlli düsturu ilə təyin olunur. Əgər matrisi ölçülü matris olarsa, onda bu tənliyin həlli birqiymətli təyin olunmayan ölçülü matrisdir. Ümumi halda (1) tənliyinin sonsuz sayda həlli vardır. Aşağıda göstərəcəyik ki, bu həllər arasında ancaq və ancaq bir həll vardır ki, həmin həllin sətir və sütunları qoşma matrisinin uyğun olaraq sətir və sütunlarının xətti kombinasiyalarıdır. Həmin həll matrisi üçün psevdotərs matris adlanır və ilə işarə olunur.

Tərif. Əgər ölçülü matris matrisi üçün

, (2)

(3)

bərabərlikləri doğrudursa, onda ölçülü matrisi matrisi üçün psevdotərs matris adla­nır, harada ki, və - hər hansı matrislərdir.

Göstərək ki, verilən matrisi üçün iki müxtəlif və matrisləri ola bilməz. Doğrudan da,

,

bərabərliklərindən , , qəbul etməklə, taparıq:

.

Buradan da

və, beləliklə,

.

Onda yəni

İndi isə matrisi üçün matrisinin varlığını göstərək. Bunun üçün matrisinin sklet ayrılışını istifadə edəcəyik.

Qeyd edək ki, ranqı ədədinə bərabər olan - ölçülü matrisi üçün ölçüləri və olan ranqlı uyğun olaraq elə və matrisləri tapmaq olar ki, olsun. matrisinin belə təsviri onu sklet ayrılışı adlanır.

və matrislərini axtaraq. Təyinə görə

, (4)

harada ki, hər hansı bir matrisdir. Onda

.

Sonuncu bərabərlyin hər tərəfini soldan matrisinə vuraq. Onda matrisinin cırlaşmayan matris olmasını nəzərə almaqla aşağıdakını alarıq:

Bu düsturu nəzərə almaqla (4) düsturundakı ikinci bərabərlikdən üçün alarıq:

(5)

Sonuncu düstura analoji olaraq matrisi üçün alarıq:

(6)

İndi göstərək ki,

(7)

matrisi (2),(3) şərtlərini ödəyir və, beləliklə, matrisi üçün psevdotərs matrisdir.

Doğrudan da

Digər tərəfdən, (5)-(7) bərabərliklərindən bərabərliyini nəzərə almaqla və qəbul etməklə, alarıq:

harada ki,

Beləliklə, göstərdik ki, istənilən düzbucaqlı matrisi üçün (7) düsturu ilə təyin olunan yeganə psevdotərs matrisi vardır, harada ki, və matrisləri matrisinin sklet ayrılışıda vuruqlarıdır. Psevdotərs matrisin bu təyin düsturundan görünür ki, matrisi kvadrat və cırlaşmayan matris olduqda psevdotərs matrisi matrisi ilə üst-üstə düşür.

Misal. Tutaq ki, matrisi aşağıdakı matrisdir:

.

Bu matris üçün psevdotərs matrisi hesablayaq. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, . matrisi olaraq, matrisinin ilk iki sütununu götürmək olar. Onda

və

, ,

,

Onda (7) düsturuna görə