§ Ardıcıllıq haqqında əsas anlayışlar

2.4. Sonsuz kiçik və sonsuz böyük ardıcıllıqlar

Tərif. Əgər istənilən müsbət A ədədi üçün elə N nömrəsi tapmaq olarsa ki, olduqda ardıcıllığının bütün elementləri üçün
(1)
bərabərsizliyi ödənilsin, onda ardıcıllığına sonsuz böyük ardıcıllıq deyilir.
Aydındır ki, hər bir sonsuz böyük ardıcıllıq qeyri-məhduddur. Lakin hər bir qeyri-məhdud ardıcıllıq sonsuz böyük olmaya da bilər. Məsələn, ardıcıllığı yalnız aşağıdan məhduddur və sonsuz böyük ardıcıllıq deyil. Belə ki, istənilən ədədi üçün (1) bərabərsizliyi kifayət qədər böyük tək ədədlər üçün ödənilmir.
Tərif. Əgər istənilən müsbət ədədi üçün elə N nömrəsi tapmaq mümkündürsə ki, bərabərsizliyini ödəyən ixtiyari n üçün
(2)
bərabərsizliyi ödənilsin, onda ardıcıllığına sonsuz kiçik ardıcıllıq (sonsuz kiçilən) deyilir.
Göstərək ki, ardıcıllığı olduqda sonsuz böyük, olduqda isə sonsuz kiçik ardıcıllıq olur.
Əvvəlcə fərz edək ki, -dir. Onda yazmaq olar. Nyuton binomu düsturundan istifadə etsək:
+müsbət hədlər
İxtiyari müsbət A ədədini qeyd edək və N nömrəsini elə seçək ki, şərti ödənilsin. [x] –simvolu ilə x həqiqi ədədinin müsbət tam hissəsini işarə edək.
bərabərsizliyi bərabərsizliyi ilə eynigüclü olduğundan qəbul etsək, onda aydındır ki, bütün bərabərsizliyini ödəyən n –lər üçün bərabərsizliyi ödəniləcək. Bu isə olduqda ardıcıllığının sonsuz böyük ardıcıllıq olması deməkdir.
İndi isə halını nəzərdən keçirək. Aydındır ki, olduqda olar. Onda yazmaq olar. Yenə də Nyuton binomu düsturundan istifadə etsək:
və yaxud .
İxtiyari müsbət həqiqi ədədini qeyd edək və N nömrəsini elə seçək ki, və yaxud olsun. Aydındır ki, qəbul etsək, onda istənilən üçün olduqda olar. Bu da olduqda ardıcıllığının sonsuz kiçik olması deməkdir.