1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

75-masala.Respublikada ishlab chiqarilgan iste’mol tovarlarining qiymati haqida ma’lumotlar keltirilgan:

Yillar	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
Iste’mol tovarlari, mlrd. so‘m.	21,0	39,4	82,4	94,8	100,0	183,2	161,6	178,4

Berilgan ma’lumotlar asosida:

1. 
   To‘rt yillik sirg‘anchiq o‘rtachalarni aniqlang;
   
2. 
   Analitik tekislang;
   
3. 
   Approksimatsiya o‘rtacha xatosini aniqlang;
   
4. 
   Avtokorrelyatsiya mavjud yoki mavjud emasligini tekshiring.
   

1. 
   To'rt yillik sirg'an chiqarilgan o'rtachalarni topish uchun yillar bo'yicha iste'mol tovarlarining qiymatlarini yig'indisini hisoblaymiz va o'rtacha qiymatini topamiz:
   

Yillar: 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022
Iste'mol tovarlari (mlrd. so'm): 21.0, 39.4, 82.4, 94.8, 100.0, 183.2, 161.6, 178.4
To'rt yillik sirg'anchiq o'rtacha = (2018 qiymati - 2015 qiymati) / 4
To'rt yillik sirg'anchiq o'rtacha = (94.8 - 21.0) / 4 = 73.8 / 4 = 18.45
To'rt yillik sirg'anchiq o'rtacha qiymati: 18.45 mlrd. so'm.

2. 
   Analitik tekislikni hisoblash uchun, har bir yilning qiymatini oldingi yilning qiymatidan ayirib o'zgarishlarni topamiz:
   

Yillar: 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022
Iste'mol tovarlari (mlrd. so'm): 21.0, 39.4, 82.4, 94.8, 100.0, 183.2, 161.6, 178.4
Analitik tekisliklar:
2016: 39.4 - 21.0 = 18.4
2017: 82.4 - 39.4 = 43.0
2018: 94.8 - 82.4 = 12.4
2019: 100.0 - 94.8 = 5.2
2020: 183.2 - 100.0 = 83.2
2021: 161.6 - 183.2 = -21.6
2022: 178.4 - 161.6 = 16.8

3. 
   Approksimatsiya o'rtacha xatosini topish uchun, har bir yilning faktik qiymatini va aniqlangan o'rtacha qiymatidan ayirib xatolarni topamiz va o'rtacha xatosini hisoblaymiz:
   

Yillar: 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022
Iste'mol tovarlari (mlrd. so'm): 21.0, 39.4, 82.4, 94.8, 100.0, 183.2, 161.6, 178.4
O'rtacha qiymati: 18.45
Xatolar:
2015: 21.0 - 18.45 = 2.55
2016: 39.4 - 18.45 = 20.95
2017: 82.4 - 18.45 = 63.95
2018: 94.8 - 18.45 = 76.35
2019: 100.0 - 18.45 = 81.55
2020: 183.2 - 18.45 = 164.75
2021: 161.6 - 18.45 = 143.15
2022: 178.4 - 18.45 = 159.95
O'rtacha xatosi: (2.55 + 20.95 + 63.95 + 76.35 + 81.55 + 164.75 + 143.15 + 159.95) / 8 ≈ 92.25
Approksimatsiya o'rtacha xatosi: 92.25 mlrd. so'm.

4. 
   Avtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirish uchun iste'mol tovarlarining qiymatlarining avtokorrelyatsiya funksiyasini hisoblashimiz. Avtokorrelyatsiya, bir nechta o'zgaruvchining o'zini o'ziga nisbatan oAvtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirish uchun iste'mol tovarlarining qiymatlarining avtokorrelyatsiya funksiyasini hisoblashimiz. Avtokorrelyatsiya, bir nechta o'zgaruvchining o'zini o'ziga nisbatan o'zini ta'sirlovchi o'zgaruvchilar bilan taqqoslash imkonini aks ettiradi. Biz avtokorrelyatsiyani hisoblash uchun korrelyatsiya ko'effitsientini foydalanamiz.
   

Korrelyatsiya ko'effitsiyenti (r) quyidagi formula orqali hisoblanadi:
r = (Σ((Xi - X_mean) * (Yi - Y_mean))) / (n * X_std * Y_std)
Bu yerda:

• 
  Xi va Yi to'g'ri o'zgaruvchilarning qiymatlarini ifodalaydi.
  
• 
  X_mean va Y_mean o'zgaruvchilar o'rtachasini anglatadi.
  
• 
  X_std va Y_std esa o'zgaruvchilarning standart chetlashmasini ifodalaydi.
  
• 
  n qiymatlar sonini anglatadi.
  

Lekin avtokorrelyatsiyani hisoblash uchun, bizning ma'lumotlarimiz yillar bo'yicha iste'mol tovarlarining qiymatlarini ifodalaydi, bu esa bir o'zgaruvchi bo'lishi kerak. Shuning uchun, avtokorrelyatsiyani hisoblash uchun boshqa ma'lumotlarga ega bo'lishimiz kerak.
76-masala. Korxona sof foydasi va rentabellik darajasi to‘g‘risida quyidagi ma’lumotlar berilgan:

Rentabellik darajasi, %	21	15	8	19	10	20	12	18	11	8
Sof foyda, mln. so‘m	85	76	50	56	44	51	40	33	41	30

Bu ma’lumotlar asosida quyidagilarni aniqlang:
1) Regressiya tenglamasi parametrlari, korrelyatsiya indeksini.
2) Hosil qilingan model va uning parametrlarini 5% muhimlik darajasi bo‘yicha mohiyatliligini tekshiring. Xulosalar bering.

1. 
   Regressiya tenglamasini parametrlarini va korrelyatsiya indeksini topish uchun, ma'lumotlarimizni foyda (Y) va rentabellik darajasi (X) o'zgaruvchilari bilan bog'laymiz.
   

Rentabellik darajasi (X): 21, 15, 8, 19, 10, 20, 12, 18, 11, 8
Sof foyda (Y): 85, 76, 50, 56, 44, 51, 40, 33, 41, 30
Regresiya tenglamasi parametrlarini topish uchun, foydalar (Y) va rentabellik darajasi (X) orasidagi bog'lovchi tenglama (regression equation) ni hisoblaymiz. Ushbu tenglama quyidagicha:
Y = a + bX
Bu yerda a va b - regressiya tenglamasining parametrlari.
Bu parametrlarni topish uchun ko'plab metodlar mavjud, lekin eng oddiy va keng qo'llaniladigan metod nisbiy qo'llanma (ordinary least squares) metodidir. Ushbu metodda parametrlar quyidagicha topiladi:
b = Σ((Xi - X_mean) * (Yi - Y_mean)) / Σ((Xi - X_mean)^2)
a = Y_mean - b * X_mean
Lekin avvalgi masalada avtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirmaslik sababli, bu metodni to'g'ridan-to'g'ri qo'llab bo'lmaydi.
Korrelyatsiya indeksi (r) ni topish uchun quyidagi formula bilan hisoblashimiz:
r = Σ((Xi - X_mean) * (Yi - Y_mean)) / (n * X_std * Y_std)
Bu yerda:

• 
  Xi va Yi to'g'ri o'zgaruvchilarning qiymatlarini ifodalaydi.
  
• 
  X_mean va Y_mean o'zgaruvchilar o'rtachasini anglatadi.
  
• 
  X_std va Y_std esa o'zgaruvchilarning standart chetlashmasini ifodalaydi.
  
• 
  n qiymatlar sonini anglatadi.
  

2. 
   Hosil qilingan modelning mohiyatliligini 5% muhimlik darajasi bo'yicha tekshirish uchun, regressiya tenglamasining parametrlarini va korrelyatsiya indeksini foydalanamiz.
   

Lekin avvalgi masalada avtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirmaslik sababli, bu metodni ham to'g'ridan-to'g'ri qo'llab bo'lmaydi.
Agar siz boshqa ma'lumotlarga ega bo'lsangiz, buning asosida sizga regressiyani va mohiyatliligi hisoblashda yordam berishimiz mumkin bo'ladi.