7.Кontravariant va ko’variant bazis vektorlari (bazislar, vektorlar)
bazis vektorlari kontravariant yo‘l bilan almashtiriladi va shuning uchun ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladi. Mos ravishda bazis vektorlari kovariant bazis vektorlari deb yuritiladi. Hosil qilingan g-tenzor fundamental metrik tenzor deb ataladi, kattaliklar-fundamental metrik tenzorning kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, kattaliklar esa fundamental metrik tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi. , biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo‘lsa, bu fazo Yevklid fazosi, aks holda Yevklidmas fazo deyiladi.Demak, Yevklid fazosi uchun fundamental metrik tenzorning matritsasi elementlari birlardan iborat bo‘lgan diagonal matritsadir. Bundan tashqari va matritsalar o‘zaro teskari matritsalardir.
8.Tenzorlarni qo‘shish va skalyarga ko‘paytirish (tenzor, o’zgarmas son).
Tenzorlarni qo‘shish amali faqat bir xil tuzilishga ega hamda ranglari teng bo‘lgan tenzorlar ustidagina o‘rinlidir. Masalan,
uchinchi rang tenzorlarni qo‘shsak,
yana uchinchi rang tenzor hosil qilamiz. Ayirsak ham xuddi shunday Quyidagi beshta tenzorni qaraylik:
Bu tenzorlardan faqat va yig‘indilarnigina tuzish mumkin va va larning yig‘indilarini tuzib bo‘lmaydi, chunki ushbu tenzorlarning tuzilishlari har xil. Xuddi shu sababga ko‘ra tenzorini qolgan tenzorlarning hech biri bilan qo‘shib bo‘lmaydi.
Tenzorlarni qo‘shish amalini ketma-ket qo‘llash natijasida tenzorni songa (skalyarga) ko‘paytirish amalini asoslash mumkin. Demak, agar A - tenzor bo‘lsa, ixtiyoriy soni uchun
ob‘yekt ham tenzordir.
9.Tenzorlarni simmetriklash va antisimmetriklash (simmetrik, antisimmetrik). tenzor va indekslari bo‘yicha simmetrik deyiladi, agar
bo‘lsa.
tenzor va indekslari bo’yicha antisimmetrik deyiladi, agar
bo‘lsa. Yuqorida keltirilgan qo‘shish qoidasidan foydalanib, ixtiyoriy ikkinchi rang tenzorga doimo simmetrik
(1.40)
va antisimmetrik
(1.41)
tenzorlarni mos qo‘yish mumkin. Ushbu (1.40) va (1.41) amallarga mos ravishda tenzorni simmetriklash va antisimmetriklash deyiladi. Ranglari va tuzilishlaridan qat‘i nazar, ixtiyoriy tenzorlarni ularning berilish tartibida ko‘paytirish mumkin. Masalan, vektor va tenzorlarni quyidagicha ko‘paytirish mumkin:
lekin hosil qilingan B va C ob‘yektlar uchinchi rang tenzorlari bo‘lmaydi. Shuning uchun bunday ko‘paytmalarga tenzorlarning noaniq ko‘paytmalari deyiladi.
