13. Vektorning kovariant hosilasi (Kristoffel simvollari, kovariant hosilalar). (1.46) ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerdagi lar koordinatalarning funksiyalari bo‘ladi va Kristoffel simvollari deb ataladi. Oxirgi (1.46) ifodani (1.45) ga qo’yib (1.47) ga ega bo‘lamiz. Bu ifodaning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi va lar bo‘yicha yigindidan iborat, ya’ni va lar gung indekslar. Shuning uchun bu yerdagi i va k larning o‘rinlarini almashtirib (1.48) ifodaga ega bo‘lamiz. Bu ifodada bazis vektorlari oldilaridagi koeffisieyentlar vektorning kontravariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar deyiladi
14. Kristoffel simvollarini hisoblash. Quyida Kristoffel simvollarini hisoblash masalasi bilan shug’ullanamiz. Oldindan aytish kerakki, simvollar har qanday tenzorning komponentalari bo‘la olmaydi. Ma’lumki, Yevklid fazosida bazis vektorlari kabi aniqlangan edi, bundan , . (1.52) Agar (1.47) ifodani hisobga olsak, (1.52) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin Bu tenglik Kristoffel simvollarining pastki indekslar bo‘yicha simmetrikligini, ya’ni ekanligini ko‘rsatadi. Kristoffel simvollarini fundamental metrik tenzor komponentalari orqali ifodalash mumkin. 15.Riman – Kristoffel tenzori va uning xossalari (Yevklid fazosi, tenzor). Yevklid fazosi uchun yaroqli bo‘lgan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish mumkinki, bunday sistemada fundamental metrik tenzorning komponentalari o‘zgarmas bo‘ladi, ya’ni . U holda bu fazoning har bir nuqtasi uchun . Agar fazo Riman fazosi bo‘lsa, o‘tish matritsasining determenanti 0 dan farqli, ya’ni bo‘lganligi uchun (1.54) formulaga asosan, (1.55) tenglik bajarilishi kerak bo‘ladi. Riman-Kristoffel tenzori sof kovariant komponentalarining ko‘rin (1.60)
dan iborat, bu yerda
16. Asosiy farazlar (tutashlik, ideal-elastik, bikrlik, bir jinslilik, izotroplilik). Qo‘llanmaning kirish qismida ta’kidlangan elastiklik klassik nazariyasi jismning sanab o‘tilgan oltita xususiyatga ega bo‘lishini talab qiladi. Ushbu xususiyatlardan birinchisi tutashlik farazidir, ya’ni deformatsuyagacha tutash bo‘lgan jism deformatsiyadan keyin ham tutashligicha qolishi kerak. Bunda jismning istalgan bo‘lagi, shu jumladan, juda kichik zarrachasi ham bo‘shliqlar va uzilishlarga ega emas. Tutashlik farazi ko‘chishlar va deformatsiyalarni koordinatalarning uzluksiz funksiyasi sifatida qarashga imkon beradi va ularni tekshirish uchun matematikaning uzluksiz funksiyalar apparatini qo‘llash mumkin bo‘ladi. Elastik jism ideal-elastik yoki boshqacha aytganda to‘liq elastik deb qabul qilinadi. Ideal-elastiklik deganda jismning unga qo‘yilgan tashqi kuchlar olib tashlangandan keyin o‘zining boshlang‘ich shakli va hajmini to‘liq tiklash xususiyati tushuniladi. Elastik jism yetarli darajada bikrlikka ega deb faraz qilinadi. Boshqacha aytganda jism nuqtalarining ko‘chishlari uning chiziqli o‘lchamlariga nisbatan kichik, nisbiy uzayishlar (qisqarishlar) va siljish burchaklari birga nisbatan ancha kichik bo‘lishi talab etiladiIdeal-elastik jism bir jinsli bo‘lishi kerak. Bu bir xil kuchlanishlar ta’sirida jismning hamma nuqtalarida bir xil deformatsiyalar vujudga keladi degan so‘zdir. Boshqacha aytganda bir jinslilik jismning elastik xossalarini xarakterlovchi kattaliklarni uning butun hajmi bo‘yicha o‘zgarmas deb hisoblashni taqozo etadi.Nihoyat elastik jismning izotrop xossaga ega bo‘lishi talab etiladi. Jism izotrop bo‘lsa uning elastik xossalari hamma yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil bo‘ladi.
