1. İdarəetmə prinsipləri

8.2. Cəbri dayanıqlıq kriteriləri

8.2.1. Dayanıqlığın vacib şərtləri

 

Sistemin xarakteristik tənliyi Viyet teoreminin köməyilə aşağıdakı kimi yazıla bilər:

D(p) = a_opⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n = a_o(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0,

 

p₁, p₂, ..., p_n – tənliyin kökləridir. Əgər sistem dayanıqlıdırsa, deməli köklərin hamısı sol köklərdir, yəni köklərin həqiqi hissəsi mənfi işarələnir.

a_i = -|a_i| < 0. Tənlikdə yerinə qoysaq:

 

a₀ (p + |a₁|) (p + |a₂| - j ²) (p + |a₂| + j ²) ... = 0.

 

Kompleks ifadəyə vursaq:

 

a₀ (p + |a₁|) ((p + |a₂|)²+ ( ²)²) ... = 0.

 Mötərizələri açsaq:

a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + a₂ p^n-2 + ... + a_n = 0.

 

Mötərizədə heç bir mənfi ədəd olmadığından xarakterik tənliyin əmsallarından heç biri mənfi olmayacaq. Buna görə də AİS-in dayanıqlı olması üçün onun xarakteristik əmsallarının müsbət olması zəruri şərtdir: a₀ > 0, a₁ > 0, ... , a_n > 0. İrəlidə a₀ > 0 olan tənliklərə baxacağıq. Əks halda tənlik -1-ə vurulacaq.

Baxılan şərtlər zəruridir, lakin kafi deyildir. Zəruri və kafi şərt Raus və Hurvis kriterilərinin köməyi ilə alınır. 

8.2.1. Raus kriterisi

 

Bu kriteri Raus tərəfindən alqoritm şəklində təklif edilmişdir və burda xarakteristik tənliyin əmsallarından xüsusi cədvəl tərtib olunur:

1) Cədvəlin birinci sətrinə tənliyin cüt indeksli əmsalları artan sıra ilə yazılır;

2) İkinci sətrinə tək indeksli əmsallar yazılır;

3) Cədvəlin qalan elementləri aşağıdakı düstura əsasən təyin olunur: c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - ri c_{k + 1,i - 1}, ri = c_{1,i - 2}/c_{1,i - 1}, i 3 – sətrin nömrəsi, k – sütunun nömrəsi.

4) Raus cədvəlində sətirlərin sayı xarakteristik tənliyin köklərindən bir vahid böyük olur.

 

Ri	i\k	1	2	3	4
-	1	c11 = a0	c21 = a2	c31 = a4	...
-	2	c12 = a1	c22 = a3	c32 = a5	...
r3 = c11/cc12	3	c13 = c21-r3c22	c23 = c31-r3c32	c33 = c41-r3c42	...
r3 = c11/c12	4	c14 = c22-r3c23	c24 = c32-r4c33	c34 = c42-r4c43	...
...	...	...	...	...	...

 

Raus kriterisi: AİS-in dayanıqlı olması üçün Raus cədvəlinin birinci sütun elementlərinin işarəsi müsbət olur c₁₁, c₁₂, c₁₃,.... Əgər bu şərt ödənilmirsə onda sistem dayanıqsız olur və sağ köklərinin sayı birinci sütundakı mənfi elementlərin sayına bərabər olur.

Müsbət cəhəti - Xarakteristik tənliyin dərəcəsindən asılı olmayaraq kriteri sadədir və EHM ilə daha rahat istifadə olunur. Mənfi cəhəti – sistemin dayanıqlıq dərəcəsi haqqında fikir yürütmək, yəni, dayanaqlıq sərhədindən hansı məsafədə olduğunu təyin etmək çətindir.

 

8.2.2. Hurvis kriterisi

 


Hurvis dayanıqlığın başqa kriterisini təklif etmişdir. Xarakteristik tənliyin əmsallarından xüsusi matris tərtib olunur.:

1) Matrisin baş diaqonalı üzrə soldan sağa doğru a₁-dən an-ə qədər bütün əmsallar yazılır;

2) Hər bir diaqonal elementdən yuxarı qalxdıqca əmsalların indeksləri artır, aşağı düşdükcə isə azalır;

3) n-dən böyük və sıfırdan kiçik indeksli əmsalların yerinə sıfırlar yazılır.

Hurvis kriterisi: sistemin dayanıqlı olması üçün zəruri və kafi şərt bütün diaqonal n minorlarının müsbət (sıfırdan böyük) olmasıdır.

Hurvis kriterisinin tətbiq olunduğu nümunələrə baxaq:

1) n = 1 => dinamika tənliyi: a₀p + a₁ = 0. = ₁ = a₁ > 0 a₀ > 0 olduqda, yəni dayanıqlıq şərtləri: a₀ > 0, a₁ > 0;

2) n = 2 => dinamika tənliyi: a₀p² + a₁p + a₂ = 0: ₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, a₃ = 0: yəni dayanıqlıq şərtləri a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => dinamika tənliyi: a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0: ₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, 3 = a_{3 2} > 0,: dayanıqlıq şərtləri a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Belə halda n 2 olduqda xarakteristik tənliyin əmsallarının müsbət olması sistemin dayanıqlı olması üçün zəruri və kafi şərtdir. n > 2 olduqda əlavə şərtlər meydana çıxır.

Hurvis kriterisini n 4 olduqda tətbiq edirlər. Çünki yüksək olduqda proses mürəkkəbləşir.


Üstünlükləri – EHM-də istifadəsi asandır. _n = a_{n n-1} = 0 halı sistemin dayanıqlıq sərhədində olduğunu bildirir. Bunun üçün ya a_n = 0 olmalıdır - bu halda sistem aperiodik dayanıqlıq sərhədindədir, ya da _n-1 = 0 – olmalıdır ki, bu zaman sistem rəqsi dayanıqlıq sərhədindədir. Sistemin parametrləri dinamik tənliyin əmsallarını müəyyən edir, uyğun olaraq K_i-nin istənilən parametrinin dəyişməsi _n-1 -ə təsir edir. Bunu nəzərə alaraq, K_i-nin hansı qiymətində _n-1 –in 0-a bərabər olduğunu, daha sonra mənfi olduğunu tapmaq olar. (şək.67). Bu da sistemin dayanıqsız olmasına səbəb olan axtardığımız parametrin qiyməti olacaq.


Suallar

1. 
   Sistemin kiçik mənada və böyük nənada dayanıqlığı nədir?
   
2. 
   Sistemin dinamik tənliyinin hansı həlləri var?
   
3. 
   Sistemin dinamik tənliyinin məcburi həllini necə tapmaq olar?
   
4. 
   Xarakteristik tənlik nədir?
   
5. 
   Xarakteristik tənliyin kökləri hansı formadadır?
   
6. 
   Xarakteristik tənliyin sağ və sol kökləri nə ilə fərqlənir?
   
7. 
   Lyapunova görə sistemin dayanıqlıq şərtləri.
   
8. 
   Dayanıqlıq sərhədi nədir?
   
9. 
    Dayanıqlıq kriteriləri nədir?
   
10. 
    Dayanıqlığın vacib şərtləri.
    
11. 
    Raus kriterisi.
    
12. 
     Hurvis kriterisi.
    
13. 
     Cəbri dayanıqlıq kriterilərinin üstünlükləri və çatışmazlıqları
    

9.Tezlik dayanıqlıq kriteriləri

Bu qrafoanalitik metodlar ATS-in tezlik xarakteristikasına əsasən onun dayanıqlığı haqqında fikir yürütməyə imkan verir. Bu üsulların üstün cəhəti sistemin diferensial tənliyin tərtibinə məhdudiyyət qoyulmamasıdır. 

9.1. Arqument prinsipi

 

AİS-in xarakteristik çoxhədlisini aşağıdakı kimi yazaq:

 

D(p) = a₀ (p - p₁) (p - p₂) ... (p - p_n) = 0.

 

 

 

 

Onun kökləri

p_i = _i + j _i = |p_i|e^jarg(p_i⁾
 

harad ki,

arg(p_i) = arctg( i/a_i) + k ,
.

 

Hər kökü kompleks müstəvi üzərində vektor şəklində göstərə bilərik (şək.68а), onda p - p_i fərqini vektorların fərqi şəklində göstərmək olar. (şək.68б), p – istənilən ədəddir.

Əgər p-nin qiymətini sərbəst şəkildə dəyişsək, p - p_i vektorunun uc nöqtəsi kompleks müstəvi üzərində yerini dəyişəcək, başlanğıc nöqtəsi isə tərpənməz qalacaq. Çünki p_i – konkret qiymətə malik olur.

Xüsusi halda əgər sistemin girişinə tezlikli harmonik siqnal verilərsə onda, p = j , əvəzləməsi aparıb xarakterik çoxhədlini aşağıdakı şəkildə yazmaq olar.

D(j ) = a₀ (j - p₁) (j - p₂) ... (j - p_n).

 

Bu halda j - p_i vektorlarının uc nöqtəsi xəyali ox üzərində yığılmış olacaqdır (şək.68в). Əgər -nı - -dan + -a dəyişsək, onda hər bir j - p_i vektoru p_i vektorunun başlanğıc nöqtəsinə nəzərən sol kökləri üçün +π qədər, sağ kökləri üçün - π qədər dönəcəkdir (şək.68г).

Xarakteristik çoxhədlini aşağıdakı formada göstərmək olar:

 

D(j ) = |D(jω)|e^jarg(D(jω)),

Harada ki,     |D(jω)| = a₀ |jω - p₁| |jω - p₂|...|jω - p_n|,
arg(D(jω)) = arg(jω - p₁) + arg(jω - p₂) + .. + arg(jω - p_n).

 

Qəbul etsək ki, n köklərdən m sayda sağ köklər, n - m isə sol köklərdir, onda D(jω) vektorunun dönmə bucağı ω - -dan + -a dıyişdikdə aşağıdakı kimi olar.

= (n - m)π - mπ,

 

Yaxud ω 0-dan + -a dəyişəndə alırıq:

= (n - 2m) ( /2).

 

Buradan belə bir qayda çıxır: -nı - -dan + -a dəyişdikdə p vektorunun arqumentinin dəyişməsi D(p) = 0 xarakterik çoxhədlinin sol və sağ köklərinin saylarının fərqinin hasilinə bərabərdir. Əgər 0-dan + -a dəyişirsə, onda fərq /2-ə vurulur.

Bu arqument prinsipidir. Tezlik kriteriyalarının əsasını təşkil edir. Bunun əsasında yaranan iki, Mixaylov və Naykvist kriteriyasına baxılacaqdır.