16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Isbot (Zarurligi). Faraz qilaylik (2) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari [a,b] oraliqda chiziqli bog’lanmagan bo’lib, biror nuqtada

bo’lsin. Bundan foydalanib o’zgarmaslarga nisbatan quyidagi

(8)

tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning asosiy determinanti bo’lgani uchun u nolmas yechimga ega. Ushbu sonlarning kamida bittasi noldan farqli. Natijada ushbu

(9)
funksiya (2) bir jinsli differensial tenglamani va


(10)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. 20-paragrafdagi natija-1 ga ko’ra, (2) bir jinsli differensial tenglamaga qo’yilgan (10) boshlang’ich masala faqat nol yechimga ega ekanligidan (9) tenglik ushbu

ko’rinishni oladi. Bunda sonlar orasida kamida bittasi noldan farqli. Shuning uchun (2) differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog’langan. Bu esa yechimlarning chiziqli bog’lanmaganligiga zid.

Yetarliligi. Aytaylik bo’lib, yechimlar chiziqli bog’liq bo’lsin. U holda

ayniyat o’rinli. Bu yerda, masalan . Bundan

kelib chiqadi. Bu tenglikni differensiallab



topamiz. O’z navbatida bu tengliklardan W(x)=0 kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid. Teorema isbot bo’ldi. ■
22-§. n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi
Ta’rif-1. Ushbu

к (1)

differensial tenglamaning ixtiyoriy n ta chiziqli bo’g’lanmagan yechimlariga, uning fundamental yechimlari sistemasi (F.Y.S) deyiladi.

Teorema-1. Uzluksiz koeffitsientli (1) ko’rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi (F.S.Y) mavjud.

Isbot. Aytaylik sonlardan tuzilgan


determinant nolga teng bo’lmasin. U holda differensial tenglamaning ushbu


(2)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari mavjud. Bu yechimlardan tuzilganVronskiy determinantini qaraylik:

.

Endi ni hisoblaymiz:

.

Shuning uchun funksiyalar chiziqli bog’lanmagan bo’ladi. Demak (1) bir jinsli differensial tenglamaning mavjud ekan. ■

Izoh. Noldan farqli determinantlar cheksiz ko’p bo’lgani uchun (1) ko’rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ham cheksiz ko’p bo’ladi.