16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Misol-1. Quyidagi

(9)

masala yechimining hosilasini nuqtadagi qiymatini toping.

Yechish. Bu holda (8) tenglama ushbu

(10)

ko’rinishni oladi. Bu yerda . Agar bo’lsa, (9) masala quyidagi

ko’rinishni oladi. Bu Koshi masalasini yechib funksiyani topamiz.

Bundan foydalanib (10) masalani da


ko’rinishda yozish mumkin. Hosil bo’lgan chiziqli tenglamani yechib



ya’ni


topamiz.

Misol-2. Quyidagi

(11)

Koshi masalasi yechimining hosilasini nuqtadagi qiymatini toping.

Yechish. Qaralayotgan holda (8) tenglama

(12)

ko’rinishni oladi. holda (11) masala

ko’rinishda bo’lgani uchun bo’ladi. Bundan foydalanib (12) tenglama

ko’rinishga keladi. Chiziqli tenglamani yechib


, ya’ni
ekanligini topamiz.

Endi, ushbu

(13)

Koshi masalasining yechimini boshlang’ich shartga nisbatan silliqligini o’rganamiz.

Teorema-2. Aytaylik va funksiyalar

sohada uzluksiz bo’lsin. U holda, shunday soni topilib, (13) Koshi masalasining ushbu oraliqda aniqlangan yechimi uchun quyidagi tasdiqlar o’rinli:

1. –xususiy hosilalar uzluksiz funksiyalardan iborat bo’lib, mos ravishda ushbu

(14)
tenglamalarni qanoatlantiradi. Bu yerda


(15)

2. –aralash hosilalar uzluksiz.

Isbot. Avvalo ushbu


xususiy hosilani mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun quyidagi yordamchi


(16)

Koshi masalasini ham qaraymiz. Berilgan (13) Koshi masalasining yechimi oraliqda mavjud. Shu bilan bir qatorda (16) Koshi masalasining yechimi oraliqda mavjud. Bu yechimlar boshlang’ich shartlarga nisbatan uzluksiz bo’lgani uchun, ushbu

baho o’rinli, ya’ni da munosabat o’rinli bo’ladi.

Bundan tashqari (13) va (16) Koshi masalalari quyidagi


( )

integral tenglamalarga ekvivalent. Shu bilan bir qatorda funksiyaga nisbatan ushbu

integral tenglamani ham qaraylik. Yuqoridagi integral tenglamalardan foydalanib quyidagi ayirmani hisoblaymiz:


ya’ni

bu yerda cheksiz kichik miqdor, ya’ni munosabat o’rinli bo’ladi, qachonki bo’lsa, bu esa da o’rinli. Oxirgi (17) tenglikni tengsizlikdan foydalanib, baholaymiz:

(18)

Bu yerda da yechimning boshlangich shartga uzluksiz bog’liqligidan

bo’lishi, bundan esa o’z navbatida



kelib chiqadi. Oxirgi (18) munosabatga Gronuolla tengsizligini qo’llasak quyidagi baho kelib chiqadi:

Bu bahodan da

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa, o’z navbatida

ekanligini bildiradi. Bundan, ushbu xususiy hosilaning mavjudligi va

tenglik kelib chiqadi. Teoremaning qolgan bandlari ham xuddi shunday isbotlanadi.