16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Misol-1. Ushbu funksiyalar shart bajarilganda ixtiyoriy kesmada chiziqli bog’lanmagan funksiyalar bo’lishini ko’rsating.

Yechish. Faraz qilaylik, bu funksiyalar chiziqli bog’langan bo’lsin, ya’ni

tenglik -o’zgarmasning birortasi, masalan bo’lganda o’rinli bo’lsin. U holda tenglikni ga bo’lib

munosabatni topamiz. Bu tenglikni differensiallab

munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikni ga bo’lib

munosabatga ega bo’lamiz. Buni yana differensiallab



tenglikka ega bo’lamiz. Yuqorida bayon qilingan jarayonni davom qildirish natijasida



tenglikka ega bo’lamiz. Bundan o’z navbatida

ekanligi kelib chiqadi. Buning bo’lishi mumkin emas. Shunday qilib -funksiyalar sistemasi bo’lganda chiziqli bog’lanmagan funksiyalar sistemasini tashkil qiladi.

Ta’rif-2. Ushbu funksiyalardan tuzilgan


determinantga Vronskiy determinanti yoki vronskiyan deyiladi.


Teorema-2. Ushbu

(2)

bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog’liq bo’lishi uchun, ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti nolga teng, ya’ni

(3)
bo’lishi zarur va yetarli.


Isbot (Zarurligi). Faraz qilaylik (3) munosabat bajarilsin. U holda bo’ladigan biror nuqtani olib o’zgarmaslarga nisbatan ushbu

(4)

tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning asosiy determinanti bo’lgani uchun bir jinsli (4) sistema -larga nisbatan nolmas yechimga ega. Shuning uchun

funksiya (2) bir jinsli differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’lib, nuqtada

(5)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. Chunki

Ikkinchi tomondan funksiya ham (2) tenglamani va (5) boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Yagonalik teoremasiga ko’ra

bo’ladi. Bundan

bo’lishi kelib chiqadi. Bu yerdagi sonlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lgani uchun funksiyalar chiziqli bog’liq bo’ladi.

Yetarliligi. Aytaylik funksiyalar (2) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari bo’lsin. U holda ularning chiziqli kombinatsiyasidan tuzilgan

funksiya ham uning yechimi bo’ladi. Teorema shartiga ko’ra funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lgani uchun ushbu

(6)

tenglik sonlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda bajariladi, ya’ni shunday nomer mavjud bo’lib bo’ladi. Bu (6) tenglikni (n-1) marta differensiallab o’zgarmaslarga nisbatan quyidagi bir jinsli tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

(7)

Oxirgi (7) bir jinsli sistema nolmas yechimga ega. Chunki . Shuning uchun (7) sistemaning asosiy determinanti nolga teng bo’ladi, ya’ni

Teorema isbot bo’ldi. ■


Teorema-3. (2) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog’lanmagan bo’lishi uchun ulardan tuzilgan Vronstkiy determinanti


nolmas bo’lishi zarur va yetarli.