16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Misol-1. Ushbu


differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.


Yechish. Qaralayotgan differensial tenglamaning umumiy yechimini (9) formuladan foydalanib topish mumkin:


20-§. n-tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
n-tartibli oddiy differensial tenglamalarning muhim xususiy hollaridan biri, n-tartibli chiziqli differensial tenglama bo’lib, u quyidagi ko’rinishda yoziladi:


(1)
Bunga n-tartibli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama deyiladi.

Agar (1) tenglamada g(x)=0 ,ya’ni

bo’lsa, bunga n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda -berilgan uzluksiz funksiyalarga mos ravishda (1) tenglamaning koeffitsiyentlari va uning o’ng tomoni deyiladi.

Ta’rif-1 (1) differensial tenglamani ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga uning yechimi deyiladi.

Lemma-1. Agar ko’rinishda bo’lib, va funksiyalar mos ravishda ushbu

differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’lsa, u holda funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’ladi.

Natija-1. Agar , funksiyalar (2) bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’lib, -ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lsa u holda funksiya (2) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Bu ikki tasdiqqa (1) tenglama uchun superpozitsiya prinsipi deyiladi. Superpozitsiya prinsipi faqat chiziqli differensial tenglamaga xos xususiyatdir.

Endi (1) differensial tenglamaga qo’yilgan

(3)

Koshi masalasini qaraymiz. Bunda va berilgan sonlar.

Teorema-1. Faraz qilaylik va funksiyalar uzluksiz bo’lib, bo’lsin. U holda -berilgan sonlarning ixtiyoriy qiymatlarida (1), (3) Koshi masalasining [a,b] kesmada aniqlangan yagona yechimi mavjud.

Isbot. Avvalo (1) differensial tenglamani ushbu

(4)
ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda


( )

Bu funksiya 18-paragrafdagi teorema-1 ning shartlarini qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Aniqlanishiga ko’ra, bu funksiya ushbu

sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib o’zgaruvchilar bo’yicha Lipshits shartni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, quyidagi

munosabatdan

kelib chiqadi. Chunki funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz. Endi, ushbu

belgilashni olsak, u holda ( ) tenglik orqali aniqlangan funksiya o’zgarmas bilan o’zgaruvchilar bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirishiga ishonch hosil qilamiz. Shuning uchun (1), (3) Koshi masalasining [a,b] kesmada aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’ladi. ■