16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Natija-1. Ushbu

(5)

Koshi masalasi yagona , yechimga ega. ■

Isbot. Ko’rinib turibdiki funksiya (5) Koshi masalasining yechimidan iborat. Yechimning yagonaligidan natija-1 ning isboti kelib chiqadi. ■
Quyidagi


(6)
belgilash natijasida (1) va (2) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
L[y]=g(x), (7)
L[y]=0 . (8)
Bu yerda L[y] ifodaga differensial operator deyiladi. Endi differensial operatorning ayrim xossalari bilan tanishamiz.

Lemma-2. O’zgarmas ko’paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni
L[cy]=cL[y], c=const.


Isbot.



Lemma-3. Ushbu


tenglik o’rinli.


Isbot.



Natija -2. Ushbu

tenglik o’rinli. Bu yerda .

Teorema-2. Agar y=y(x) funksiya [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko’ra L[y]=0. Bundan kelib chiqadi.

Teorema-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda


funksiya ham [a, b] kesmada (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.


Isbot. Teorema shartiga ko’ra



Natija-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan iborat bo’lsa, u holda ushbu


funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.

21-§. Vronskiy determinanti
Ta’rif-1. Agar quyidagi shartni qanoatlantiruvchi


sonlar topilib, ushbu


(1)

munosabat bajarilsa funksiyalarga oraliqda chiziqli bog’langan funksiyalar deyiladi.

Agar (1) tenglik -o’zgarmaslarning faqat nolga teng qiymatida

bajarilsa funksiyalarga chiziqli bog’lanmagan funksiyalar deyiladi.

Teorema-1. Agar funksiyalar (a,b) intervalda chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda ularning ichidan bittasi qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.

Isbot. Aytaylik ushbu

tenglik bo’lganda bajarilsin. U holda

munosabatga ega bo’lamiz. Bu esa funksiya funksiyalarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat ekanligini ko’rsatadi.