16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Teorema-2. Agar bo’lsa, u holda har bir da

(9)
munosabat bajariladi.


Isbot. Berilgan (8) Koshi masalasining yechimini

(10)

ko’rinishda izlaymiz. Bunda quyidagi

(11)


Koshi masalasining yechimidan iborat. Bu chiziqli tenglamani yechib



formulani topamiz. U holda


(12)

baho o’rinli bo’ladi. Chunki da

baho o’rinli agar (12) tenglikda da ushbu

munosabatni inobatga olsak, undan (9) kelib chiqadi. Ammo da oraliqda funksiya nolga tekis yaqinlashmaydi. Yuqoridagi (12) munosabatdan ko’rinadiki, agar ( - ixtiyoriy tayinlangan son) bo’lsa, u holda

tekis yaqinlashadi. Berilgan oraliqda , da funksiyaga tekis yaqinlashmaydi.

(chizma)

Agar bo’lsa funksiya da ga yaqinlashmaydi.

Ushbu kesmaga chegaraviy qatlam deyiladi (пограничным слоем).
18-§. n-chi tartibli differensial tenglamalar
Ushbu

(1)
ko’rinishdagi tenglamaga n-tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi deyiladi.

Quyidagi belgilashlarni kiritaylik:

Endi, -o’lchamli fazoda quyidagi

sohani olaylik. Bu yerda a, b –o’zgarmas sonlar bo’lib,

Ta’rif-1. Aytaylik (1) ko’rinishidagi oddiy differensial tenglama berilgan bo’lib funksiya sohada aniqlangan bo’lsin. Agar oraliqda aniqlangan biror funksiya uchun quyidagi

1.

2.

3.

shartlar bajarilsa, funksiya oraliqda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.

Ta’rif-2. (1) differensial tenglamaning ushbu

(2)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi y=y(x) yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda berilgan nuqta.

Teorema-1. Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchilar bo’yicha Lipshits:

(3)

shartшni qanoatlantirsa, u holda shunday h>0 soni mavjud bo’lib (1)+(2) Koshi masalasining oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud bo’ladi.

Bu teoremaning isbotini qisuvchi akslantirishlar prinspidan foydalanib ko’rsatish mumkin.