16. Aylanish matritsalari

17. Clebsch-Gordon qatori

Keltirilmaydigan tasavvurlarning to‘g‘ri ko‘paytmasini keltirilmaydigan tasavvurlarning to‘g‘ri yig‘indisiga yoyish masalasi eng

muhim masalalardandir:

(144)

Umumiy holda bu masala og‘ir masala hisoblanadi. SU (2) gruppasi

uchun uning yechimi quyidagicha. Bir sinfga tegishli elementlarning xarakterlari bir xil. Har xil o‘qlar atrofida bir xil burchakka buralishlar bitta sinfga

tegishlidir. Buni quyidagicha ko‘rish mumkin: birinchi o‘q atrofida φ burchakka buralishni va ikkinchi ixtiyoriy o‘q atrofidagi φburchakka buralishni deb belgilayli. Birinchi o‘qni ikkinchi o‘qqa burab o‘tkazadigan elementni deb belgilaylik. Unda bo‘ladi. Demak, z -o‘qi atrofidagi φ burchakka buralish tasavvurining xarakterini topsak ixtiyoriy o‘q atrofidagi

φ burchakka buralishga mos keluvchi tasavvurning xarakterini topgan bo‘lamiz.

dan foydalanib quyidagini olamiz:

(144) ning chap tomonining izini hisoblaymiz:

Tasavvurlar tilida quyidagi Clebsch-Gordon qatori ni olamiz:

(145)

matritsa 2j + 1 o‘lchamli fazoda keltirilmaydigan tasavvurni ifodalaydi. Chap o‘lchamli fazoda ta’sir qiluvchi tasavvur matritsasi berilgan, o‘ng tomonning ma‘nosi shuki, bu fazo o‘lchamliklari dan gacha

bo‘lgan invariant qismfazolarning yig‘indisiga parchalandi. Bu qismfazolarning har biriga tegishli funksiyalar uch o‘lchamli x, y, z fazoning buralishlarida faqat shu qismfazoga tegishli funksiyalar orqaligina ifodalanadi.

4.32-misol.

(146)

Har bir ikki o‘lchamli bo‘lib ikki komponentalik spinorlarning almashtirish

matritsasidir. Ikkita fundamental ikki o‘lchamli tasavvurlarning ko‘paytmasiga

mos keluvhci to‘rt o‘lchamli fazo ikkita keltirilmaydigan fazolarning to‘g‘ri yig‘indisiga parchalanar ekan. Clebsh-Gordon qatori ko‘pincha tasavvur matritsalarini yozib o‘tirmay shu tasavvurlarning o‘lchamliklari orqali ifodalanadi: