16. Aylanish matritsalari

19. SU (3)-gruppasi

O‘lchami 3 × 3 bo‘lgan unitar va unimodular matritsalar to‘plami SU (3) gruppasini tashkil qiladi. g ⊂ SU (3) bo‘lgan ixtiyoriy matritsani

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda - haqiqiy parametrlar, - 3×3 matritsalar. g ning unitarligi dan matritsalarning

o‘ziga qo‘shma ekanligi va g ning unimodularligi det g = 1 dan matritsalarning izsizligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy aynimagan n × n unitar matritsa n-o‘lchamli kompleks fazodaquyidagi kvadratik formani saqlaydi:

Ixtiyoriy unitar matritsa uchun U (n) = U (1) × SU (n) bo‘ladi, bu yerda U (1) - U (n) ning abel qismgruppasi, SU (n) esa soda gruppadir (Qachon gruppa sodda yoki yarimsodda deyiladi va bu nimaga olib keladi 22. da tushuntirilgan). SU (n) gruppalar kompakt gruppalardir, demak, ularning hamma keltirilmaydigan

tasavvurlari unitar bo‘lishi kerak. Demak, hermit qo‘shma tasavvur bo‘yicha almashinadigan kattaliklar teskari tasavvur bo‘yicha almashinishi kerak. SU (3) uchun buni quyidagicha ifodalaymiz. Uch komponentali kompleks kontravariant vector kiritaylik:

Bu kattalik SU (3) gruppasining biror keltirilmaydigan tasavvuri

bo‘yicha almashinsin:

i, j = 1, 2, 3.

Hermite qo‘shma tasavvur bo‘yicha almashinadigan kattalik

kovariant vektor sifatida qaraladi:

Kiritilgan kattaliklar SU (3) gruppasining birinchi rang tenzorlari bo‘ladi. Gruppaning p-marta kontravariant va q -marta kovariant tenzori:

(152)

Bir marta ko- va bir marta kontravariant aralash tenzor berilgan bo‘lsin. U uchun

Agar bu ifoda i va j indekslar bo‘yicha soddalashtirilsa va belgilash kiritilsa bo‘ladi. Ikkinchi rang aralash

tenzorini soddalashtirib rangi nolga teng bo‘lgan skalar kattalik oldik. Xuddi shunday ixtiyoriy rang aralash tenzorini bitta kova bitta kontravariant indekslari bo‘yicha soddalashtirib rangi ikkitaga kam bo‘lgan tenzor olinadi.

Soddalashtirish masalalarida invariant tenzorlar yordam beradi, SU (3) gruppasida uchta invariant tenzor bor: va . Ularning birinchisi - Kronecker deltasi, ikkita qolgani - birlik

antisimmetrik tenzorlar. Ularning invariant ekanligini ko‘rsatish

qiyin emas:

Oxirgi ikki munosabatni olishda birinchi bobdagi 10-mashq

natijalari ishlatildi.

(152) qoida bo‘yicha almashinadigan tenzor keltirilmaydigan tenzor emas, uning ikkita biri ko- va biri kontravariant indekslari bo‘yicha soddalashtirilsa rangi ikkitaga past bo‘lgan tenzor kelib chiqadi. Shuning uchun keltirilmaydigan tenzorlarni quyidagicha ta‘riflaylik:

1. Tenzor o‘zining yuqori va quyi indekslari bo‘yicha (har biri bo‘yicha alohida) simmetriklashtirilgan bo‘lishi kerak;

2. Ixtiyoriy ikkita biri yuqori va biri quyi indekslar bo‘yicha soddalashtirilganda u nolga teng bo‘lishi kerak.

Birinchi rang kontravariant tenzor keltirilmaydigan tasavvur D(1, 0) bo‘yicha almashinadi deyiladi, birinchi rang kovariant tenzor bo‘lsa keltirilmaydigan tasavvur D(0, 1) bo‘yicha almashinadi deyiladi. Shunga yarasha

ikkinchi rang keltirilmaydigan aralash tenzor bo‘lib, u keltirilmaydigan D(1, 1) tasavvur bo‘yicha almashinadigan tenzor bo‘ladi. D(p, q ) esa p marta kontravariant va q marta kovariant keltirilmaydigan tenzorni ifodalaydi.

Birinchi rang tenzorining o‘lchamligi 3 ga teng, ikkinchi rang aralash tenzorning o‘lchamligi 3 × 3 = 9 ga teng, keltirilmaydigan ikkinchi rang aralash tenzorning o‘lchamligi 3 × 3 − 1 = 8 ga teng (izining nolligi shartini hisobga olish kerak). Ikkinchi rang kontravariant keltirilmaydigan tenzorning oltita komponentasi bor:

.

Bu yerdagi{} simvollar ularning ichidagi indekslarning simmetriklashtirilganligini bildiradi, shu sababdan ikkinchi rang kontravariant keltirilmaydigan tenzorni deb belgilash mumkin. Ikkinchi rang kovariant keltirilmaydigan tenzor esa

deb belgilanadi. tenzor D(2, 0) tasavvur bo‘yicha, esa D(0, 2) bo‘yicha

almashinadi.

D(p, q ) tasavvurning o‘lchamligini topaylik. 1, 2, 3 qiymatlarni

qabul qiladigan p ta sonlardan mumkin. Ularning ichida simmetrik variantlar 11...1, 22...2, 33...3 ko‘rinishga ega bo‘lishi kerak. Bu kombinatsiyalarning soni vergul ta har xil variantlar tuzish belgisini necha xil yo‘l bilan tanlab olishga teng, bu tanlashlarning soni ga teng. xuddi shunday quyi indekslar

bo‘yicha ham simmetrik variantlar soni , ularning

ko‘paytmasi . Har bir yuqori-quyi juftlar bo‘yicha soddalashtirishda nol olinishi kerak, bunday shartlarning soni

Natijada D(p, q) tasavvurning o‘lchamligi

Uchun

son olinadi.

Yuqorida olingan xususiy qiymatlar bilan solishtirish mumkin: D(1, 0) ning o‘lchamligi 3 ga teng, D(2, 0) ning o‘lchamligi 6 ga teng, D(1, 1) ning o‘lchamligi 8 ga teng, D(3, 0) ning o‘lchamligi 10 ga teng.

Keltirilmaydigan tasavvurlarni ko‘paytirish (Clebsch-Gordon qatorini topish) masalasiga kelaylik. D(1, 0) va D(0, 1) larning to‘g‘ri ko‘paytmasidan boshlaymiz. D(1, 0) bo‘yicha almashinadi, D(0, 1) bo‘yicha . ko‘paytma ikki qismga ajratiladi: skalar , u D(0, 0) bo‘yicha almashinadi, va izsiz tenzor , u D(1, 1) bo‘yicha almashinadi. Demak,

.

O‘lchamliklarini tekshiraylik: . Oxirgi yozuvda belgi orqali D(0, 1) ning kompleks qo‘shma tasavvur ekanligi ifodalandi.

Odatda D(0, 0) bo‘yicha almashinadigan skalar