16. Aylanish matritsalari

3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 7 ⊕ 2 · 5 ⊕ 3 · 3 ⊕ 1

bo‘ladi. Ya’ni, 27 o‘lchamli fazo bitta 7 o‘lchamli, ikkita 5 o‘lchamli, uchta 3

o‘lchamli va bitta bir o‘lchamli invariant qismfazolarga parchalanar ekan.

4.36-misol.

bo‘ladi.

18. Momentlarni qo‘shish

Momentlarni qo‘shish masalasi Clebsch-Gordon qatori bilan uzviy bog‘langan. Matematik nuqtayi nazardan spin va orbital momentlarning farqi yo‘q, shu sababdan bundan keyin "moment"deyilganda ularning ixtiyoriysi ko‘zda tutiladi.

Clebsch-Gordon qatorini fizik nuqtayi nazardan quyidagicha tasavvur qilish mumkin. Momentlari va bo‘lgan ikkita sistema berilgan bo‘lsin. To‘liq sistemaning momenti qanday qiymatlarni qabul qiladi? Sistemalar va

rangli ikkita spinorlar orqali ifodalanadi, to‘liq sistemaga

spinor mos keladi, uni hamma indekslar bo‘yicha simmetriklashtirib momentga mos keluvchi rangli simmetrik spinor olinadi. Olingan spinorda birinchi guruh indekslar va ikkinchi guruh indekslardan bittadan olib ular bo‘yicha soddalashtirilsa rangli spinor olinadi, u momentga mos keladi. Shu ishni yana bir marta bajarsak momentga mos keladigan spinor olinadi va h.k. Jarayonni davom

ettirib momentga mos keluvchi spinorgacha yetib kelinadi. Olingan qator Clebsch-Gordon qatori (145) ning o‘zidir.

Quyidagi masalani ko‘rib chiqaylik: alohida olib qaraganimizda

momentlari va , ularning z -o‘qiga proeksiyalari va bo‘lgan zarrachalardan tuzilgan sistemaning to‘liq momenti va uning p oeksiyasi qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin? Bunday masala momentlarni qo‘shish masalasi deyiladi.

Momentlarni qo‘shish masalasi aniqroq quyidagicha ifodalanadi: ikkita sistema (yoki zarracha, matematik nuqtayi

nazardan farqi yo‘q) berilgan bo‘lsin, ularning momentlari va

bo‘lsin, shu momentlarning z -o‘qiga proeksiyalari mos ravishda va bo‘lsin. Agar har bir sistemani alohida ko‘rsak har bir mos ravishda ta qiymatlarni qabul qilishi mumkin va har bir sistemaning to‘lqin funksiyasi va ning xususiy funksiyalari bo‘ladi - (110) va (115) formulalarga qarang. Kvant mexanikasiga yaqinroq bo‘lishni ko‘zda tutib bunday xususiy to‘lqin bunksiyani

deb belgilaymis. Demak,

Butun sistemaning to‘liq momenti bo‘ladi. Ko‘rish qiyin

emaski, to‘lqin funksiya operatorning xususiy funksiyasi ( va va ularning komponentalari har xil o‘zgaruvchilarga ta’sir qiluvchi operatorlar bo‘lgani uchun ular o‘zaro kommutativ bo‘ladi):

Ammo to‘lqin funksiya va ning xususiy funksiyasi bo‘lmasligi mumkin:

ifodadagi oxirgi xad bunga to‘sqinlik qiladi. Shularni hisobga olib

momentlarni qo‘shish masalasi quyidagicha qo‘yiladi: rangli spinor bo‘lgan funksiyani va ning xususiy funksiyasi bo‘lgan |j, m⟩ bo‘yicha qatorga yoying:

(150)

Bu yerda o‘ng tomondagi m chap tomondagi va larning yig‘indisiga teng: . Xuddi shu masalani teskarisiga

ham qo‘yish mumkin: |j, m⟩ ni bo‘yicha shunday qatorga yoyish kerakki, unda va larning shartga bo‘ysungan hamma kombinatsiyalari ishtirok etsin

|j, m⟩ = (151)

O‘ng tomonda bo‘yicha yig‘indi yo‘q, chunki uning qiymati

shartdan topiladi.

Matematik nuqtayi nazardan (150) va (151) formulalar bitta ortonormal bazisdan ikkinchisiga o‘tish formulalaridir, shuning uchun ularga kirgan koeffitsiyentlar o‘zaro teskari bo‘lgan unitary matritsalarni tashkil qilishi kerak. Buni boshqacha ham ko‘rsatishimiz mumkin.

Umumiy qoida bo‘yicha

Ikkinchi tomondan bo‘lishi kerak, demak,

. Keyin ko‘ramizki, bu koefficientlar haqiqiy

son bo‘ladi, shuning uchun (150) va (151) almashtirishlarning unitarligidan koeffitsiyentlar uchun quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:

koeffitsiyentlar Clebsch-Gordon koeffitsiyentlari deyiladi. Ularni aniqlash uchun (110) - (116) formulalarda qo‘llanilgan metoddan foydalanamiz. Bu formulalarning ichida ko‘rilayapgan masala uchun eng muhimlarini hozirgi belgilashlarda yozib olaylik:

(151) formulaning o‘ng tomonida va bo‘lsin,

ya’ni, momentning proeksiyalari o‘zining maksimal qiymatiga ega bo‘lsin. Bu holda chap tomonda va bo‘ladi va qatordan bittagina xad qoladi:

To‘lqin funksiyalari hammasining normasi birga teng qilib tanlab

olingan deyilsa bo‘lishi kerak, deb tanlab olamiz. Bu tanlov bilan biz hamma larning umumiy ishorasini aniqladik. Endi oxirgi formulaning ikkala tomoniga pasaytiruvchi operator bilan ta’sir qilish kerak:

=



bo‘lgani uchun

Olingan formulani (151) bilan solishtirish Clebsch-Gordon koeffitsiyentlarining ikkitasini beradi:

Ikkala koeffitsiyent oldida musbat ishora olindi, keyingi topiladigan to‘lqin funksiyalarining ishoralarini shunday tanlab olish kerakki, ular bu funksiyaga ortogonal bo‘lib chiqsin. Jarayonni davom ettirib holatgacha yetib borish qiyin emas.

Ko‘rinib turibdiki, Clebsch-Gordon koeffitsiyentlarining haqiqiyligining yuqorida va’da qilingan isboti larning haqiqiyligidan kelib chiqadi.

holatga o‘taylik. Bu holatga mos keluvchi eng yuqori vektor uchun bo‘lishi kerak. U esa faqatgina va holatlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lishi mumkin. Demak,

Bu holat ta’sirida nolga tenglashishi kerak:

Demak, . Buni hisobga olib holatni quyidagicha tanlab olamiz:

Bu tanlov holat normasining birga tengligini ta’minlaydi. O‘ng tomondagi ishoralar shartlidir, ya’ni, birinchi xad oldida minus va ikkinchi xad oldida plus olishimiz mumkin edi. Muhimi - ikkala xad oldidagi ishoralarning har xilligi. Topilgan asosida yuqoridagi usul bilan hamma larni topish mumkin.

Clebsch-Gordon koeffitsiyentlarining quyidagilari topildi:

Keyingi holatlarni topishda ham xuddi shunday usul bilan harakat

qilish kerak.

4.37-misol. bo‘lsin.

j ni m dan farq qilish uchun m ning oldiga uning ishorasini qo‘yib ishlatamiz. Ikkala zarracha momentining z - o‘qiga proeksiyasi maksimal bo‘lsin, bunda:

.

Proeksiya +1/2 bo‘lgan holga o‘tish uchun ikkala tomonga bilan

ta’sir qilamiz:

Endi spin proeksiyasi -1/2 bo‘lgan holatni topaylik. Buning uchun yana bir

Marta bilan ta’sir qilamiz:

.

Yana bir marta pasaytiruvchi operator bilan ta’sir qilinsa to‘liq moment 3/2,

uning z -o‘qiga proeksiyasi -3/2 bo‘lgan holatga o‘tiladi:

.

Albatta, bu munosabatni oldindan ham yozib qo‘yish mumkin edi, ammo

biz yo‘l-yo‘lakay hamma hisoblarimizni tekshirib chiqish imkoniyatini boy bermaslikka qaror qildik.

To‘liq spin 1/2 bo‘lgan holga o‘taylik. Yuqoridagi nazariya bo‘yicha

.

kombinatsiyaga ko‘taruvchi operator bilan ta’sir qilamiz, natija nolga teng

bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak. To‘liq to‘lqin funksiyaning normasi

birga teng bo‘lishi kerakligi shartidan quyidagini olamiz (a ning ishorasini

musbat deb tanladik):

.

Pasaytiruvchi operator bilan ta’sir qilamiz:

.

Boshqa holatlar yo‘q, hamma topilgan holatlarning o‘zaro ortogonalligini

tekshirib chiqish qiyin emas.